Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73271 / 76232
↖ ↑ ↗
← S 28.168875°
E 21.244812°		 ← 269.25 m → S 28.168875°
E 21.247559°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
S 28.171297°
E 21.244812°		 ← 269.25 m →
72 492 m²		 S 28.171297°
E 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559017181396484 y=0.581607818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559017181396484 × 217)
    floor (0.559017181396484 × 131072)
    floor (73271.5)     		tx = 73271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581607818603516 × 217)
    floor (0.581607818603516 × 131072)
    floor (76232.5)     		ty = 76232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73271 / 76232 ti = "17/73271/76232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73271/76232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73271 ÷ 217
    73271 ÷ 131072     		x = 0.559013366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76232 ÷ 217
    76232 ÷ 131072     		y = 0.58160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559013366699219 × 2 - 1) × π
    0.118026733398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.37079192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.512733078336121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37079192} λ = 0.37079192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512733078336121))-π/2
    2×atan(0.598856618079129)-π/2
    2×0.5395783541662-π/2
    1.0791567083324-1.57079632675     		φ = -0.49163962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37079192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.244812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49163962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.168875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73271 KachelY 76232 0.37079192 -0.49163962 21.244812 -28.168875
    Oben rechts KachelX + 1 73272 KachelY 76232 0.37083986 -0.49163962 21.247559 -28.168875
    Unten links KachelX 73271 KachelY + 1 76233 0.37079192 -0.49168188 21.244812 -28.171297
    Unten rechts KachelX + 1 73272 KachelY + 1 76233 0.37083986 -0.49168188 21.247559 -28.171297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49163962--0.49168188) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49163962--0.49168188) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37079192-0.37083986) × cos(-0.49163962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881560025325945 × 6371000     		do = 269.251123089731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37079192-0.37083986) × cos(-0.49168188) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881540074778341 × 6371000     		du = 269.245029678965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49163962)-sin(-0.49168188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881560025325945-0.881540074778341)×R²
    abs(0.37083986-0.37079192)×1.9950547604175e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9950547604175e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9950547604175e-05×40589641000000     		ar = 72491.9374545821m²