Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73269 / 76360
↖ ↑ ↗
← S 28.478349°
E 21.239319°		 ← 268.47 m → S 28.478349°
E 21.242065°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
S 28.480763°
E 21.239319°		 ← 268.46 m →
72 076 m²		 S 28.480763°
E 21.242065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559001922607422 y=0.582584381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559001922607422 × 217)
    floor (0.559001922607422 × 131072)
    floor (73269.5)     		tx = 73269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582584381103516 × 217)
    floor (0.582584381103516 × 131072)
    floor (76360.5)     		ty = 76360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73269 / 76360 ti = "17/73269/76360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73269/76360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73269 ÷ 217
    73269 ÷ 131072     		x = 0.558998107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76360 ÷ 217
    76360 ÷ 131072     		y = 0.58258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558998107910156 × 2 - 1) × π
    0.117996215820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.37069604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58258056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37069604} λ = 0.37069604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518869001487488))-π/2
    2×atan(0.595193330211748)-π/2
    2×0.536877688298808-π/2
    1.07375537659762-1.57079632675     		φ = -0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37069604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.239319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73269 KachelY 76360 0.37069604 -0.49704095 21.239319 -28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 73270 KachelY 76360 0.37074398 -0.49704095 21.242065 -28.478349
    Unten links KachelX 73269 KachelY + 1 76361 0.37069604 -0.49708309 21.239319 -28.480763
    Unten rechts KachelX + 1 73270 KachelY + 1 76361 0.37074398 -0.49708309 21.242065 -28.480763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49704095--0.49708309) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49704095--0.49708309) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37069604-0.37074398) × cos(-0.49704095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 268.468419721247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37069604-0.37074398) × cos(-0.49708309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878977267661841 × 6371000     		du = 268.46228241862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49704095)-sin(-0.49708309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.878977267661841)×R²
    abs(0.37074398-0.37069604)×2.00942547529115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00942547529115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00942547529115e-05×40589641000000     		ar = 72075.9505659482m²