Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73269 / 76239
↖ ↑ ↗
← S 28.185823°
E 21.239319°		 ← 269.21 m → S 28.185823°
E 21.242065°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
S 28.188244°
E 21.239319°		 ← 269.20 m →
72 463 m²		 S 28.188244°
E 21.242065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559001922607422 y=0.581661224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559001922607422 × 217)
    floor (0.559001922607422 × 131072)
    floor (73269.5)     		tx = 73269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581661224365234 × 217)
    floor (0.581661224365234 × 131072)
    floor (76239.5)     		ty = 76239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73269 / 76239 ti = "17/73269/76239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73269/76239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73269 ÷ 217
    73269 ÷ 131072     		x = 0.558998107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76239 ÷ 217
    76239 ÷ 131072     		y = 0.581657409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558998107910156 × 2 - 1) × π
    0.117996215820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.37069604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581657409667969 × 2 - 1) × π
    -0.163314819335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.513068636633461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37069604} λ = 0.37069604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513068636633461))-π/2
    2×atan(0.598655700483684)-π/2
    2×0.539430458491897-π/2
    1.07886091698379-1.57079632675     		φ = -0.49193541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37069604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.239319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49193541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.185823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73269 KachelY 76239 0.37069604 -0.49193541 21.239319 -28.185823
    Oben rechts KachelX + 1 73270 KachelY 76239 0.37074398 -0.49193541 21.242065 -28.185823
    Unten links KachelX 73269 KachelY + 1 76240 0.37069604 -0.49197766 21.239319 -28.188244
    Unten rechts KachelX + 1 73270 KachelY + 1 76240 0.37074398 -0.49197766 21.242065 -28.188244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49193541--0.49197766) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dl = 269.174749999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49193541--0.49197766) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dr = 269.174749999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37069604-0.37074398) × cos(-0.49193541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881420352602613 × 6371000     		do = 269.208463444538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37069604-0.37074398) × cos(-0.49197766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88140039576013 × 6371000     		du = 269.202368111154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49193541)-sin(-0.49197766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881420352602613-0.88140039576013)×R²
    abs(0.37074398-0.37069604)×1.99568424829044e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99568424829044e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99568424829044e-05×40589641000000     		ar = 72463.3005014162m²