Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73268 / 76330
↖ ↑ ↗
← S 28.405896°
E 21.236572°		 ← 268.60 m → S 28.405896°
E 21.239319°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
S 28.408313°
E 21.236572°		 ← 268.59 m →
72 162 m²		 S 28.408313°
E 21.239319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558994293212891 y=0.582355499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558994293212891 × 217)
    floor (0.558994293212891 × 131072)
    floor (73268.5)     		tx = 73268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582355499267578 × 217)
    floor (0.582355499267578 × 131072)
    floor (76330.5)     		ty = 76330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73268 / 76330 ti = "17/73268/76330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73268/76330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73268 ÷ 217
    73268 ÷ 131072     		x = 0.558990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76330 ÷ 217
    76330 ÷ 131072     		y = 0.582351684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558990478515625 × 2 - 1) × π
    0.11798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37064811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582351684570312 × 2 - 1) × π
    -0.164703369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.517430894498886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37064811} λ = 0.37064811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517430894498886))-π/2
    2×atan(0.596049897669692)-π/2
    2×0.53750995101015-π/2
    1.0750199020203-1.57079632675     		φ = -0.49577642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37064811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49577642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.405896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73268 KachelY 76330 0.37064811 -0.49577642 21.236572 -28.405896
    Oben rechts KachelX + 1 73269 KachelY 76330 0.37069604 -0.49577642 21.239319 -28.405896
    Unten links KachelX 73268 KachelY + 1 76331 0.37064811 -0.49581859 21.236572 -28.408313
    Unten rechts KachelX + 1 73269 KachelY + 1 76331 0.37069604 -0.49581859 21.239319 -28.408313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49577642--0.49581859) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dl = 268.665070000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49577642--0.49581859) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dr = 268.665070000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37064811-0.37069604) × cos(-0.49577642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879599620563698 × 6371000     		do = 268.596325722725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37064811-0.37069604) × cos(-0.49581859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.8795795588913 × 6371000     		du = 268.590199649716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49577642)-sin(-0.49581859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879599620563698-0.8795795588913)×R²
    abs(0.37069604-0.37064811)×2.00616723984304e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00616723984304e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00616723984304e-05×40589641000000     		ar = 72161.6277318126m²