Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73268 / 76252
↖ ↑ ↗
← S 28.217290°
E 21.236572°		 ← 269.07 m → S 28.217290°
E 21.239319°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
S 28.219710°
E 21.236572°		 ← 269.07 m →
72 410 m²		 S 28.219710°
E 21.239319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558994293212891 y=0.581760406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558994293212891 × 217)
    floor (0.558994293212891 × 131072)
    floor (73268.5)     		tx = 73268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581760406494141 × 217)
    floor (0.581760406494141 × 131072)
    floor (76252.5)     		ty = 76252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73268 / 76252 ti = "17/73268/76252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73268/76252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73268 ÷ 217
    73268 ÷ 131072     		x = 0.558990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76252 ÷ 217
    76252 ÷ 131072     		y = 0.581756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558990478515625 × 2 - 1) × π
    0.11798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37064811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.16351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.513691816328522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37064811} λ = 0.37064811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513691816328522))-π/2
    2×atan(0.598282746627515)-π/2
    2×0.539155857288558-π/2
    1.07831171457712-1.57079632675     		φ = -0.49248461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37064811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49248461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.217290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73268 KachelY 76252 0.37064811 -0.49248461 21.236572 -28.217290
    Oben rechts KachelX + 1 73269 KachelY 76252 0.37069604 -0.49248461 21.239319 -28.217290
    Unten links KachelX 73268 KachelY + 1 76253 0.37064811 -0.49252685 21.236572 -28.219710
    Unten rechts KachelX + 1 73269 KachelY + 1 76253 0.37069604 -0.49252685 21.239319 -28.219710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49248461--0.49252685) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dl = 269.11104000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49248461--0.49252685) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dr = 269.11104000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37064811-0.37069604) × cos(-0.49248461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881160814579689 × 6371000     		do = 269.073055096672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37064811-0.37069604) × cos(-0.49252685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881140842016774 × 6371000     		du = 269.066956234316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49248461)-sin(-0.49252685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881160814579689-0.881140842016774)×R²
    abs(0.37069604-0.37064811)×1.99725629149716e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99725629149716e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99725629149716e-05×40589641000000     		ar = 72409.7090682325m²