Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73268 / 76236
↖ ↑ ↗
← S 28.178560°
E 21.236572°		 ← 269.17 m → S 28.178560°
E 21.239319°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
S 28.180981°
E 21.236572°		 ← 269.16 m →
72 453 m²		 S 28.180981°
E 21.239319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558994293212891 y=0.581638336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558994293212891 × 217)
    floor (0.558994293212891 × 131072)
    floor (73268.5)     		tx = 73268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581638336181641 × 217)
    floor (0.581638336181641 × 131072)
    floor (76236.5)     		ty = 76236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73268 / 76236 ti = "17/73268/76236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73268/76236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73268 ÷ 217
    73268 ÷ 131072     		x = 0.558990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76236 ÷ 217
    76236 ÷ 131072     		y = 0.581634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558990478515625 × 2 - 1) × π
    0.11798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37064811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37064811} λ = 0.37064811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512924825934601))-π/2
    2×atan(0.598741799769198)-π/2
    2×0.539493839482783-π/2
    1.07898767896557-1.57079632675     		φ = -0.49180865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37064811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49180865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.178560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73268 KachelY 76236 0.37064811 -0.49180865 21.236572 -28.178560
    Oben rechts KachelX + 1 73269 KachelY 76236 0.37069604 -0.49180865 21.239319 -28.178560
    Unten links KachelX 73268 KachelY + 1 76237 0.37064811 -0.49185090 21.236572 -28.180981
    Unten rechts KachelX + 1 73269 KachelY + 1 76237 0.37069604 -0.49185090 21.239319 -28.180981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49180865--0.49185090) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dl = 269.174749999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49180865--0.49185090) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dr = 269.174749999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37064811-0.37069604) × cos(-0.49180865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881480218411786 × 6371000     		do = 269.170588899231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37064811-0.37069604) × cos(-0.49185090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881460266289954 × 6371000     		du = 269.164496278806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49180865)-sin(-0.49185090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881480218411786-0.881460266289954)×R²
    abs(0.37069604-0.37064811)×1.99521218322563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99521218322563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99521218322563e-05×40589641000000     		ar = 72453.1059952874m²