Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73267 / 76331
↖ ↑ ↗
← S 28.408313°
E 21.233826°		 ← 268.65 m → S 28.408313°
E 21.236572°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
S 28.410728°
E 21.233826°		 ← 268.64 m →
72 158 m²		 S 28.410728°
E 21.236572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558986663818359 y=0.582363128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558986663818359 × 217)
    floor (0.558986663818359 × 131072)
    floor (73267.5)     		tx = 73267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582363128662109 × 217)
    floor (0.582363128662109 × 131072)
    floor (76331.5)     		ty = 76331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73267 / 76331 ti = "17/73267/76331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73267/76331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73267 ÷ 217
    73267 ÷ 131072     		x = 0.558982849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76331 ÷ 217
    76331 ÷ 131072     		y = 0.582359313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558982849121094 × 2 - 1) × π
    0.117965698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.37060017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582359313964844 × 2 - 1) × π
    -0.164718627929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.517478831398506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37060017} λ = 0.37060017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517478831398506))-π/2
    2×atan(0.596021325570413)-π/2
    2×0.537488868611238-π/2
    1.07497773722248-1.57079632675     		φ = -0.49581859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37060017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.233826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49581859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.408313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73267 KachelY 76331 0.37060017 -0.49581859 21.233826 -28.408313
    Oben rechts KachelX + 1 73268 KachelY 76331 0.37064811 -0.49581859 21.236572 -28.408313
    Unten links KachelX 73267 KachelY + 1 76332 0.37060017 -0.49586075 21.233826 -28.410728
    Unten rechts KachelX + 1 73268 KachelY + 1 76332 0.37064811 -0.49586075 21.236572 -28.410728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49581859--0.49586075) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dl = 268.601360000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49581859--0.49586075) × R
    4.21600000000133e-05 × 6371000     		dr = 268.601360000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37060017-0.37064811) × cos(-0.49581859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8795795588913 × 6371000     		do = 268.646237663073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37060017-0.37064811) × cos(-0.49586075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879559500412626 × 6371000     		du = 268.640111287381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49581859)-sin(-0.49586075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8795795588913-0.879559500412626)×R²
    abs(0.37064811-0.37060017)×2.00584786733682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00584786733682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00584786733682e-05×40589641000000     		ar = 72157.9220294945m²