Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73267 / 76324
↖ ↑ ↗
← S 28.391401°
E 21.233826°		 ← 268.69 m → S 28.391401°
E 21.236572°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
S 28.393817°
E 21.233826°		 ← 268.68 m →
72 187 m²		 S 28.393817°
E 21.236572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558986663818359 y=0.582309722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558986663818359 × 217)
    floor (0.558986663818359 × 131072)
    floor (73267.5)     		tx = 73267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582309722900391 × 217)
    floor (0.582309722900391 × 131072)
    floor (76324.5)     		ty = 76324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73267 / 76324 ti = "17/73267/76324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73267/76324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73267 ÷ 217
    73267 ÷ 131072     		x = 0.558982849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76324 ÷ 217
    76324 ÷ 131072     		y = 0.582305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558982849121094 × 2 - 1) × π
    0.117965698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.37060017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.16461181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.517143273101166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37060017} λ = 0.37060017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517143273101166))-π/2
    2×atan(0.596221359031167)-π/2
    2×0.537636455498962-π/2
    1.07527291099792-1.57079632675     		φ = -0.49552342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37060017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.233826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49552342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.391401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73267 KachelY 76324 0.37060017 -0.49552342 21.233826 -28.391401
    Oben rechts KachelX + 1 73268 KachelY 76324 0.37064811 -0.49552342 21.236572 -28.391401
    Unten links KachelX 73267 KachelY + 1 76325 0.37060017 -0.49556559 21.233826 -28.393817
    Unten rechts KachelX + 1 73268 KachelY + 1 76325 0.37064811 -0.49556559 21.236572 -28.393817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49552342--0.49556559) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dl = 268.665070000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49552342--0.49556559) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dr = 268.665070000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37060017-0.37064811) × cos(-0.49552342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8797199482388 × 6371000     		do = 268.689116183421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37060017-0.37064811) × cos(-0.49556559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879699895951394 × 6371000     		du = 268.682991698701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49552342)-sin(-0.49556559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8797199482388-0.879699895951394)×R²
    abs(0.37064811-0.37060017)×2.00522874062026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00522874062026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00522874062026e-05×40589641000000     		ar = 72186.5575007946m²