Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73266 / 76332
↖ ↑ ↗
← S 28.410728°
E 21.231079°		 ← 268.64 m → S 28.410728°
E 21.233826°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
S 28.413144°
E 21.231079°		 ← 268.63 m →
72 173 m²		 S 28.413144°
E 21.233826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558979034423828 y=0.582370758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558979034423828 × 217)
    floor (0.558979034423828 × 131072)
    floor (73266.5)     		tx = 73266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582370758056641 × 217)
    floor (0.582370758056641 × 131072)
    floor (76332.5)     		ty = 76332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73266 / 76332 ti = "17/73266/76332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73266/76332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73266 ÷ 217
    73266 ÷ 131072     		x = 0.558975219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76332 ÷ 217
    76332 ÷ 131072     		y = 0.582366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558975219726562 × 2 - 1) × π
    0.117950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37055223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.16473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.517526768298126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37055223} λ = 0.37055223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517526768298126))-π/2
    2×atan(0.59599275484076)-π/2
    2×0.537467786693127-π/2
    1.07493557338625-1.57079632675     		φ = -0.49586075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37055223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.231079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49586075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.410728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73266 KachelY 76332 0.37055223 -0.49586075 21.231079 -28.410728
    Oben rechts KachelX + 1 73267 KachelY 76332 0.37060017 -0.49586075 21.233826 -28.410728
    Unten links KachelX 73266 KachelY + 1 76333 0.37055223 -0.49590292 21.231079 -28.413144
    Unten rechts KachelX + 1 73267 KachelY + 1 76333 0.37060017 -0.49590292 21.233826 -28.413144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49586075--0.49590292) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dl = 268.665070000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49586075--0.49590292) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dr = 268.665070000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37055223-0.37060017) × cos(-0.49586075) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879559500412626 × 6371000     		do = 268.640111287692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37055223-0.37060017) × cos(-0.49590292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879539435612306 × 6371000     		du = 268.633982981206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49586075)-sin(-0.49590292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879559500412626-0.879539435612306)×R²
    abs(0.37060017-0.37055223)×2.00648003201298e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00648003201298e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00648003201298e-05×40589641000000     		ar = 72173.3910836977m²