Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73264 / 76370
↖ ↑ ↗
← S 28.502489°
E 21.225586°		 ← 268.41 m → S 28.502489°
E 21.228333°		 →
↑
268.35 m
↓
↑
268.35 m
↓
S 28.504902°
E 21.225586°		 ← 268.40 m →
72 025 m²		 S 28.504902°
E 21.228333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558963775634766 y=0.582660675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558963775634766 × 217)
    floor (0.558963775634766 × 131072)
    floor (73264.5)     		tx = 73264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582660675048828 × 217)
    floor (0.582660675048828 × 131072)
    floor (76370.5)     		ty = 76370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73264 / 76370 ti = "17/73264/76370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73264/76370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73264 ÷ 217
    73264 ÷ 131072     		x = 0.5589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76370 ÷ 217
    76370 ÷ 131072     		y = 0.582656860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5589599609375 × 2 - 1) × π
    0.117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37045636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582656860351562 × 2 - 1) × π
    -0.165313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.519348370483688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37045636} λ = 0.37045636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519348370483688))-π/2
    2×atan(0.59490808135769)-π/2
    2×0.536667030340126-π/2
    1.07333406068025-1.57079632675     		φ = -0.49746227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37045636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49746227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.502489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73264 KachelY 76370 0.37045636 -0.49746227 21.225586 -28.502489
    Oben rechts KachelX + 1 73265 KachelY 76370 0.37050430 -0.49746227 21.228333 -28.502489
    Unten links KachelX 73264 KachelY + 1 76371 0.37045636 -0.49750439 21.225586 -28.504902
    Unten rechts KachelX + 1 73265 KachelY + 1 76371 0.37050430 -0.49750439 21.228333 -28.504902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49746227--0.49750439) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dl = 268.346520000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49746227--0.49750439) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dr = 268.346520000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37045636-0.37050430) × cos(-0.49746227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878796387309959 × 6371000     		do = 268.407036903606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37045636-0.37050430) × cos(-0.49750439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878776286995755 × 6371000     		du = 268.400897750266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49746227)-sin(-0.49750439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878796387309959-0.878776286995755)×R²
    abs(0.37050430-0.37045636)×2.01003142041856e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01003142041856e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01003142041856e-05×40589641000000     		ar = 72025.2705971181m²