Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73262 / 76328
↖ ↑ ↗
← S 28.401065°
E 21.220093°		 ← 268.61 m → S 28.401065°
E 21.222839°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
S 28.403481°
E 21.220093°		 ← 268.60 m →
72 165 m²		 S 28.403481°
E 21.222839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558948516845703 y=0.582340240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558948516845703 × 217)
    floor (0.558948516845703 × 131072)
    floor (73262.5)     		tx = 73262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582340240478516 × 217)
    floor (0.582340240478516 × 131072)
    floor (76328.5)     		ty = 76328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73262 / 76328 ti = "17/73262/76328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73262/76328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73262 ÷ 217
    73262 ÷ 131072     		x = 0.558944702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76328 ÷ 217
    76328 ÷ 131072     		y = 0.58233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558944702148438 × 2 - 1) × π
    0.117889404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37036049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.517335020699646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37036049} λ = 0.37036049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517335020699646))-π/2
    2×atan(0.596107045977387)-π/2
    2×0.537552117250272-π/2
    1.07510423450054-1.57079632675     		φ = -0.49569209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37036049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.220093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49569209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.401065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73262 KachelY 76328 0.37036049 -0.49569209 21.220093 -28.401065
    Oben rechts KachelX + 1 73263 KachelY 76328 0.37040842 -0.49569209 21.222839 -28.401065
    Unten links KachelX 73262 KachelY + 1 76329 0.37036049 -0.49573426 21.220093 -28.403481
    Unten rechts KachelX + 1 73263 KachelY + 1 76329 0.37040842 -0.49573426 21.222839 -28.403481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49569209--0.49573426) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dl = 268.665070000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49569209--0.49573426) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000     		dr = 268.665070000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37036049-0.37040842) × cos(-0.49569209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879639734459454 × 6371000     		do = 268.608574983364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37036049-0.37040842) × cos(-0.49573426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.87961967591512 × 6371000     		du = 268.602449865548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49569209)-sin(-0.49573426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879639734459454-0.87961967591512)×R²
    abs(0.37040842-0.37036049)×2.00585443339563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00585443339563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00585443339563e-05×40589641000000     		ar = 72164.9188085479m²