Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73260 / 76276
↖ ↑ ↗
← S 28.275358°
E 21.214599°		 ← 268.98 m → S 28.275358°
E 21.217346°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
S 28.277777°
E 21.214599°		 ← 268.98 m →
72 351 m²		 S 28.277777°
E 21.217346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558933258056641 y=0.581943511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558933258056641 × 217)
    floor (0.558933258056641 × 131072)
    floor (73260.5)     		tx = 73260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581943511962891 × 217)
    floor (0.581943511962891 × 131072)
    floor (76276.5)     		ty = 76276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73260 / 76276 ti = "17/73260/76276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73260/76276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73260 ÷ 217
    73260 ÷ 131072     		x = 0.558929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76276 ÷ 217
    76276 ÷ 131072     		y = 0.581939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558929443359375 × 2 - 1) × π
    0.11785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37026461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581939697265625 × 2 - 1) × π
    -0.16387939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.514842301919403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37026461} λ = 0.37026461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514842301919403))-π/2
    2×atan(0.597594826745082)-π/2
    2×0.538649113804551-π/2
    1.0772982276091-1.57079632675     		φ = -0.49349810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37026461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.214599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49349810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.275358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73260 KachelY 76276 0.37026461 -0.49349810 21.214599 -28.275358
    Oben rechts KachelX + 1 73261 KachelY 76276 0.37031255 -0.49349810 21.217346 -28.275358
    Unten links KachelX 73260 KachelY + 1 76277 0.37026461 -0.49354032 21.214599 -28.277777
    Unten rechts KachelX + 1 73261 KachelY + 1 76277 0.37031255 -0.49354032 21.217346 -28.277777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49349810--0.49354032) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49349810--0.49354032) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37026461-0.37031255) × cos(-0.49349810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880681167130915 × 6371000     		do = 268.982697175158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37026461-0.37031255) × cos(-0.49354032) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880661166331291 × 6371000     		du = 268.976588416133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49349810)-sin(-0.49354032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880681167130915-0.880661166331291)×R²
    abs(0.37031255-0.37026461)×2.00007996234985e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00007996234985e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00007996234985e-05×40589641000000     		ar = 72351.1180362255m²