Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7326 / 3666
↖ ↑ ↗
← N 70.005566°
W 19.028320°		 ← 835.41 m → N 70.005566°
W 19.006348°		 →
↑
835.56 m
↓
↑
835.56 m
↓
N 69.998052°
W 19.028320°		 ← 835.71 m →
698 155 m²		 N 69.998052°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447174072265625 y=0.223785400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447174072265625 × 214)
    floor (0.447174072265625 × 16384)
    floor (7326.5)     		tx = 7326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223785400390625 × 214)
    floor (0.223785400390625 × 16384)
    floor (3666.5)     		ty = 3666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7326 / 3666 ti = "14/7326/3666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7326/3666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7326 ÷ 214
    7326 ÷ 16384     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3666 ÷ 214
    3666 ÷ 16384     		y = 0.2237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2237548828125 × 2 - 1) × π
    0.552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73569926144299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73569926144299))-π/2
    2×atan(5.67289325272248)-π/2
    2×1.39631197886259-π/2
    2.79262395772518-1.57079632675     		φ = 1.22182763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22182763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.005566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7326 KachelY 3666 -0.33210684 1.22182763 -19.028320 70.005566
    Oben rechts KachelX + 1 7327 KachelY 3666 -0.33172335 1.22182763 -19.006348 70.005566
    Unten links KachelX 7326 KachelY + 1 3667 -0.33210684 1.22169648 -19.028320 69.998052
    Unten rechts KachelX + 1 7327 KachelY + 1 3667 -0.33172335 1.22169648 -19.006348 69.998052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22182763-1.22169648) × R
    0.000131149999999858 × 6371000     		dl = 835.556649999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22182763-1.22169648) × R
    0.000131149999999858 × 6371000     		dr = 835.556649999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33172335) × cos(1.22182763) × R
    0.000383490000000042 × 0.341928847186946 × 6371000     		do = 835.405616574887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33172335) × cos(1.22169648) × R
    0.000383490000000042 × 0.3420520892905 × 6371000     		du = 835.706723505042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22182763)-sin(1.22169648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341928847186946-0.3420520892905)×R²
    abs(-0.33172335--0.33210684)×0.000123242103554189×R²
    0.000383490000000042×0.000123242103554189×6371000²
    0.000383490000000042×0.000123242103554189×40589641000000     		ar = 698154.515326828m²