Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73256 / 76299
↖ ↑ ↗
← S 28.330978°
E 21.203614°		 ← 268.79 m → S 28.330978°
E 21.206360°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 28.333395°
E 21.203614°		 ← 268.78 m →
72 247 m²		 S 28.333395°
E 21.206360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558902740478516 y=0.582118988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558902740478516 × 217)
    floor (0.558902740478516 × 131072)
    floor (73256.5)     		tx = 73256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582118988037109 × 217)
    floor (0.582118988037109 × 131072)
    floor (76299.5)     		ty = 76299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73256 / 76299 ti = "17/73256/76299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73256/76299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73256 ÷ 217
    73256 ÷ 131072     		x = 0.55889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76299 ÷ 217
    76299 ÷ 131072     		y = 0.582115173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55889892578125 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37007287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582115173339844 × 2 - 1) × π
    -0.164230346679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.515944850610664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37007287} λ = 0.37007287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515944850610664))-π/2
    2×atan(0.5969363124397)-π/2
    2×0.538163743708947-π/2
    1.07632748741789-1.57079632675     		φ = -0.49446884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37007287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.203614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49446884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.330978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73256 KachelY 76299 0.37007287 -0.49446884 21.203614 -28.330978
    Oben rechts KachelX + 1 73257 KachelY 76299 0.37012080 -0.49446884 21.206360 -28.330978
    Unten links KachelX 73256 KachelY + 1 76300 0.37007287 -0.49451103 21.203614 -28.333395
    Unten rechts KachelX + 1 73257 KachelY + 1 76300 0.37012080 -0.49451103 21.206360 -28.333395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49446884--0.49451103) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49446884--0.49451103) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37007287-0.37012080) × cos(-0.49446884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88022090350303 × 6371000     		do = 268.786041942284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37007287-0.37012080) × cos(-0.49451103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880200880856882 × 6371000     		du = 268.77992778641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49446884)-sin(-0.49451103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88022090350303-0.880200880856882)×R²
    abs(0.37012080-0.37007287)×2.00226461474218e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00226461474218e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00226461474218e-05×40589641000000     		ar = 72246.8477820255m²