Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73253 / 76300
↖ ↑ ↗
← S 28.333395°
E 21.195373°		 ← 268.84 m → S 28.333395°
E 21.198120°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 28.335813°
E 21.195373°		 ← 268.83 m →
72 277 m²		 S 28.335813°
E 21.198120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558879852294922 y=0.582126617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558879852294922 × 217)
    floor (0.558879852294922 × 131072)
    floor (73253.5)     		tx = 73253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582126617431641 × 217)
    floor (0.582126617431641 × 131072)
    floor (76300.5)     		ty = 76300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73253 / 76300 ti = "17/73253/76300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73253/76300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73253 ÷ 217
    73253 ÷ 131072     		x = 0.558876037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76300 ÷ 217
    76300 ÷ 131072     		y = 0.582122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558876037597656 × 2 - 1) × π
    0.117752075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.36992905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    -0.16424560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.515992787510284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36992905} λ = 0.36992905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515992787510284))-π/2
    2×atan(0.596907697849464)-π/2
    2×0.538142646418372-π/2
    1.07628529283674-1.57079632675     		φ = -0.49451103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36992905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.195373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49451103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.333395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73253 KachelY 76300 0.36992905 -0.49451103 21.195373 -28.333395
    Oben rechts KachelX + 1 73254 KachelY 76300 0.36997699 -0.49451103 21.198120 -28.333395
    Unten links KachelX 73253 KachelY + 1 76301 0.36992905 -0.49455323 21.195373 -28.335813
    Unten rechts KachelX + 1 73254 KachelY + 1 76301 0.36997699 -0.49455323 21.198120 -28.335813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49451103--0.49455323) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49451103--0.49455323) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36992905-0.36997699) × cos(-0.49451103) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880200880856882 × 6371000     		do = 268.8360053845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36992905-0.36997699) × cos(-0.49455323) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880180851897596 × 6371000     		du = 268.829888024789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49451103)-sin(-0.49455323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880200880856882-0.880180851897596)×R²
    abs(0.36997699-0.36992905)×2.00289592862113e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00289592862113e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00289592862113e-05×40589641000000     		ar = 72277.4044965125m²