Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73249 / 77345
↖ ↑ ↗
← S 30.829140°
E 21.184387°		 ← 262.21 m → S 30.829140°
E 21.187134°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
S 30.831498°
E 21.184387°		 ← 262.21 m →
68 760 m²		 S 30.831498°
E 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558849334716797 y=0.590099334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558849334716797 × 217)
    floor (0.558849334716797 × 131072)
    floor (73249.5)     		tx = 73249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590099334716797 × 217)
    floor (0.590099334716797 × 131072)
    floor (77345.5)     		ty = 77345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73249 / 77345 ti = "17/73249/77345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73249/77345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73249 ÷ 217
    73249 ÷ 131072     		x = 0.558845520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77345 ÷ 217
    77345 ÷ 131072     		y = 0.590095520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558845520019531 × 2 - 1) × π
    0.117691040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.36973731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590095520019531 × 2 - 1) × π
    -0.180191040039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.566086847613243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36973731} λ = 0.36973731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566086847613243))-π/2
    2×atan(0.567742761451221)-π/2
    2×0.516363169169132-π/2
    1.03272633833826-1.57079632675     		φ = -0.53806999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36973731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.184387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53806999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.829140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73249 KachelY 77345 0.36973731 -0.53806999 21.184387 -30.829140
    Oben rechts KachelX + 1 73250 KachelY 77345 0.36978524 -0.53806999 21.187134 -30.829140
    Unten links KachelX 73249 KachelY + 1 77346 0.36973731 -0.53811115 21.184387 -30.831498
    Unten rechts KachelX + 1 73250 KachelY + 1 77346 0.36978524 -0.53811115 21.187134 -30.831498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53806999--0.53811115) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53806999--0.53811115) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36973731-0.36978524) × cos(-0.53806999) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.858699370897448 × 6371000     		do = 262.214183057128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36973731-0.36978524) × cos(-0.53811115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.858678276507729 × 6371000     		du = 262.207741631462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53806999)-sin(-0.53811115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858699370897448-0.858678276507729)×R²
    abs(0.36978524-0.36973731)×2.10943897189786e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10943897189786e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10943897189786e-05×40589641000000     		ar = 68759.6750611006m²