Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73249 / 76368
↖ ↑ ↗
← S 28.497661°
E 21.184387°		 ← 268.36 m → S 28.497661°
E 21.187134°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 28.500075°
E 21.184387°		 ← 268.36 m →
72 031 m²		 S 28.500075°
E 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558849334716797 y=0.582645416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558849334716797 × 217)
    floor (0.558849334716797 × 131072)
    floor (73249.5)     		tx = 73249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582645416259766 × 217)
    floor (0.582645416259766 × 131072)
    floor (76368.5)     		ty = 76368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73249 / 76368 ti = "17/73249/76368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73249/76368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73249 ÷ 217
    73249 ÷ 131072     		x = 0.558845520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76368 ÷ 217
    76368 ÷ 131072     		y = 0.5826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558845520019531 × 2 - 1) × π
    0.117691040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.36973731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.519252496684448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36973731} λ = 0.36973731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519252496684448))-π/2
    2×atan(0.594965120189869)-π/2
    2×0.536709158078049-π/2
    1.0734183161561-1.57079632675     		φ = -0.49737801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36973731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.184387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49737801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.497661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73249 KachelY 76368 0.36973731 -0.49737801 21.184387 -28.497661
    Oben rechts KachelX + 1 73250 KachelY 76368 0.36978524 -0.49737801 21.187134 -28.497661
    Unten links KachelX 73249 KachelY + 1 76369 0.36973731 -0.49742014 21.184387 -28.500075
    Unten rechts KachelX + 1 73250 KachelY + 1 76369 0.36978524 -0.49742014 21.187134 -28.500075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49737801--0.49742014) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49737801--0.49742014) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36973731-0.36978524) × cos(-0.49737801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878836592803586 × 6371000     		do = 268.363326016951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36973731-0.36978524) × cos(-0.49742014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.878816490836695 × 6371000     		du = 268.357187639534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49737801)-sin(-0.49742014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878836592803586-0.878816490836695)×R²
    abs(0.36978524-0.36973731)×2.01019668916169e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01019668916169e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01019668916169e-05×40589641000000     		ar = 72030.6382688956m²