Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73249 / 76255
↖ ↑ ↗
← S 28.224550°
E 21.184387°		 ← 269.05 m → S 28.224550°
E 21.187134°		 →
↑
269.05 m
↓
↑
269.05 m
↓
S 28.226970°
E 21.184387°		 ← 269.05 m →
72 388 m²		 S 28.226970°
E 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558849334716797 y=0.581783294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558849334716797 × 217)
    floor (0.558849334716797 × 131072)
    floor (73249.5)     		tx = 73249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581783294677734 × 217)
    floor (0.581783294677734 × 131072)
    floor (76255.5)     		ty = 76255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73249 / 76255 ti = "17/73249/76255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73249/76255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73249 ÷ 217
    73249 ÷ 131072     		x = 0.558845520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76255 ÷ 217
    76255 ÷ 131072     		y = 0.581779479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558845520019531 × 2 - 1) × π
    0.117691040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.36973731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581779479980469 × 2 - 1) × π
    -0.163558959960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.513835627027382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36973731} λ = 0.36973731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513835627027382))-π/2
    2×atan(0.598196713354007)-π/2
    2×0.5390924992666-π/2
    1.0781849985332-1.57079632675     		φ = -0.49261133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36973731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.184387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49261133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.224550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73249 KachelY 76255 0.36973731 -0.49261133 21.184387 -28.224550
    Oben rechts KachelX + 1 73250 KachelY 76255 0.36978524 -0.49261133 21.187134 -28.224550
    Unten links KachelX 73249 KachelY + 1 76256 0.36973731 -0.49265356 21.184387 -28.226970
    Unten rechts KachelX + 1 73250 KachelY + 1 76256 0.36978524 -0.49265356 21.187134 -28.226970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49261133--0.49265356) × R
    4.22299999999765e-05 × 6371000     		dl = 269.04732999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49261133--0.49265356) × R
    4.22299999999765e-05 × 6371000     		dr = 269.04732999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36973731-0.36978524) × cos(-0.49261133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881100892174539 × 6371000     		do = 269.054757069393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36973731-0.36978524) × cos(-0.49265356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881080919624945 × 6371000     		du = 269.048658211105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49261133)-sin(-0.49265356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881100892174539-0.881080919624945)×R²
    abs(0.36978524-0.36973731)×1.99725495934056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99725495934056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99725495934056e-05×40589641000000     		ar = 72387.6435831649m²