Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73247 / 76357
↖ ↑ ↗
← S 28.471106°
E 21.178894°		 ← 268.49 m → S 28.471106°
E 21.181641°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
S 28.473520°
E 21.178894°		 ← 268.48 m →
72 081 m²		 S 28.473520°
E 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558834075927734 y=0.582561492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558834075927734 × 217)
    floor (0.558834075927734 × 131072)
    floor (73247.5)     		tx = 73247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582561492919922 × 217)
    floor (0.582561492919922 × 131072)
    floor (76357.5)     		ty = 76357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73247 / 76357 ti = "17/73247/76357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73247/76357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73247 ÷ 217
    73247 ÷ 131072     		x = 0.558830261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76357 ÷ 217
    76357 ÷ 131072     		y = 0.582557678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558830261230469 × 2 - 1) × π
    0.117660522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36964143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582557678222656 × 2 - 1) × π
    -0.165115356445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.518725190788628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36964143} λ = 0.36964143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518725190788628))-π/2
    2×atan(0.595278931535568)-π/2
    2×0.536940895078197-π/2
    1.07388179015639-1.57079632675     		φ = -0.49691454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36964143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.178894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49691454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.471106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73247 KachelY 76357 0.36964143 -0.49691454 21.178894 -28.471106
    Oben rechts KachelX + 1 73248 KachelY 76357 0.36968937 -0.49691454 21.181641 -28.471106
    Unten links KachelX 73247 KachelY + 1 76358 0.36964143 -0.49695668 21.178894 -28.473520
    Unten rechts KachelX + 1 73248 KachelY + 1 76358 0.36968937 -0.49695668 21.181641 -28.473520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49691454--0.49695668) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dl = 268.473939999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49691454--0.49695668) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dr = 268.473939999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36964143-0.36968937) × cos(-0.49691454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879057630548121 × 6371000     		do = 268.486827312941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36964143-0.36968937) × cos(-0.49695668) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879037540975821 × 6371000     		du = 268.480691440455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49691454)-sin(-0.49695668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879057630548121-0.879037540975821)×R²
    abs(0.36968937-0.36964143)×2.00895722994865e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00895722994865e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00895722994865e-05×40589641000000     		ar = 72080.8927163933m²