Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73247 / 76260
↖ ↑ ↗
← S 28.236649°
E 21.178894°		 ← 269.08 m → S 28.236649°
E 21.181641°		 →
↑
269.05 m
↓
↑
269.05 m
↓
S 28.239069°
E 21.178894°		 ← 269.07 m →
72 395 m²		 S 28.239069°
E 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558834075927734 y=0.581821441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558834075927734 × 217)
    floor (0.558834075927734 × 131072)
    floor (73247.5)     		tx = 73247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581821441650391 × 217)
    floor (0.581821441650391 × 131072)
    floor (76260.5)     		ty = 76260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73247 / 76260 ti = "17/73247/76260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73247/76260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73247 ÷ 217
    73247 ÷ 131072     		x = 0.558830261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76260 ÷ 217
    76260 ÷ 131072     		y = 0.581817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558830261230469 × 2 - 1) × π
    0.117660522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36964143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581817626953125 × 2 - 1) × π
    -0.16363525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.514075311525482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36964143} λ = 0.36964143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514075311525482))-π/2
    2×atan(0.598053352056429)-π/2
    2×0.538986912139181-π/2
    1.07797382427836-1.57079632675     		φ = -0.49282250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36964143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.178894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49282250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.236649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73247 KachelY 76260 0.36964143 -0.49282250 21.178894 -28.236649
    Oben rechts KachelX + 1 73248 KachelY 76260 0.36968937 -0.49282250 21.181641 -28.236649
    Unten links KachelX 73247 KachelY + 1 76261 0.36964143 -0.49286473 21.178894 -28.239069
    Unten rechts KachelX + 1 73248 KachelY + 1 76261 0.36968937 -0.49286473 21.181641 -28.239069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49282250--0.49286473) × R
    4.22299999999765e-05 × 6371000     		dl = 269.04732999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49282250--0.49286473) × R
    4.22299999999765e-05 × 6371000     		dr = 269.04732999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36964143-0.36968937) × cos(-0.49282250) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881001004251681 × 6371000     		do = 269.080383664448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36964143-0.36968937) × cos(-0.49286473) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880981023845221 × 6371000     		du = 269.074281134019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49282250)-sin(-0.49286473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881001004251681-0.880981023845221)×R²
    abs(0.36968937-0.36964143)×1.99804064604514e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99804064604514e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99804064604514e-05×40589641000000     		ar = 72394.5378562604m²