Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73241 / 76311
↖ ↑ ↗
← S 28.359985°
E 21.162414°		 ← 268.77 m → S 28.359985°
E 21.165161°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.362402°
E 21.162414°		 ← 268.76 m →
72 225 m²		 S 28.362402°
E 21.165161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558788299560547 y=0.582210540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558788299560547 × 217)
    floor (0.558788299560547 × 131072)
    floor (73241.5)     		tx = 73241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582210540771484 × 217)
    floor (0.582210540771484 × 131072)
    floor (76311.5)     		ty = 76311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73241 / 76311 ti = "17/73241/76311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73241/76311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73241 ÷ 217
    73241 ÷ 131072     		x = 0.558784484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76311 ÷ 217
    76311 ÷ 131072     		y = 0.582206726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558784484863281 × 2 - 1) × π
    0.117568969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36935381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582206726074219 × 2 - 1) × π
    -0.164413452148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.516520093406105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36935381} λ = 0.36935381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516520093406105))-π/2
    2×atan(0.596593027872086)-π/2
    2×0.537910607906405-π/2
    1.07582121581281-1.57079632675     		φ = -0.49497511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36935381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.162414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49497511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.359985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73241 KachelY 76311 0.36935381 -0.49497511 21.162414 -28.359985
    Oben rechts KachelX + 1 73242 KachelY 76311 0.36940175 -0.49497511 21.165161 -28.359985
    Unten links KachelX 73241 KachelY + 1 76312 0.36935381 -0.49501729 21.162414 -28.362402
    Unten rechts KachelX + 1 73242 KachelY + 1 76312 0.36940175 -0.49501729 21.165161 -28.362402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49497511--0.49501729) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49497511--0.49501729) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36935381-0.36940175) × cos(-0.49497511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879980533101428 × 6371000     		do = 268.768705507922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36935381-0.36940175) × cos(-0.49501729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		du = 268.762585785828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49497511)-sin(-0.49501729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879980533101428-0.879960496407423)×R²
    abs(0.36940175-0.36935381)×2.00366940040775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00366940040775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00366940040775e-05×40589641000000     		ar = 72225.064071263m²