Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7324 / 4813
↖ ↑ ↗
← N 59.389178°
W 19.072266°		 ← 1 244.09 m → N 59.389178°
W 19.050293°		 →
↑
1 244.32 m
↓
↑
1 244.32 m
↓
N 59.377988°
W 19.072266°		 ← 1 244.51 m →
1 548 307 m²		 N 59.377988°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447052001953125 y=0.293792724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447052001953125 × 214)
    floor (0.447052001953125 × 16384)
    floor (7324.5)     		tx = 7324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293792724609375 × 214)
    floor (0.293792724609375 × 16384)
    floor (4813.5)     		ty = 4813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7324 / 4813 ti = "14/7324/4813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7324/4813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7324 ÷ 214
    7324 ÷ 16384     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4813 ÷ 214
    4813 ÷ 16384     		y = 0.29376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29376220703125 × 2 - 1) × π
    0.4124755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29583027052936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29583027052936))-π/2
    2×atan(3.65402854725524)-π/2
    2×1.303666515157-π/2
    2.607333030314-1.57079632675     		φ = 1.03653670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03653670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.389178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7324 KachelY 4813 -0.33287383 1.03653670 -19.072266 59.389178
    Oben rechts KachelX + 1 7325 KachelY 4813 -0.33249034 1.03653670 -19.050293 59.389178
    Unten links KachelX 7324 KachelY + 1 4814 -0.33287383 1.03634139 -19.072266 59.377988
    Unten rechts KachelX + 1 7325 KachelY + 1 4814 -0.33249034 1.03634139 -19.050293 59.377988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03653670-1.03634139) × R
    0.00019531000000006 × 6371000     		dl = 1244.32001000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03653670-1.03634139) × R
    0.00019531000000006 × 6371000     		dr = 1244.32001000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33249034) × cos(1.03653670) × R
    0.000383489999999986 × 0.509203979909268 × 6371000     		do = 1244.09469484114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33249034) × cos(1.03634139) × R
    0.000383489999999986 × 0.509372062940262 × 6371000     		du = 1244.50535778842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03653670)-sin(1.03634139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509203979909268-0.509372062940262)×R²
    abs(-0.33249034--0.33287383)×0.000168083030993915×R²
    0.000383489999999986×0.000168083030993915×6371000²
    0.000383489999999986×0.000168083030993915×40589641000000     		ar = 1548307.42610879m²