Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73238 / 76314
↖ ↑ ↗
← S 28.367236°
E 21.154175°		 ← 268.75 m → S 28.367236°
E 21.156922°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.369652°
E 21.154175°		 ← 268.74 m →
72 220 m²		 S 28.369652°
E 21.156922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558765411376953 y=0.582233428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558765411376953 × 217)
    floor (0.558765411376953 × 131072)
    floor (73238.5)     		tx = 73238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582233428955078 × 217)
    floor (0.582233428955078 × 131072)
    floor (76314.5)     		ty = 76314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73238 / 76314 ti = "17/73238/76314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73238/76314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73238 ÷ 217
    73238 ÷ 131072     		x = 0.558761596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76314 ÷ 217
    76314 ÷ 131072     		y = 0.582229614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558761596679688 × 2 - 1) × π
    0.117523193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36921000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582229614257812 × 2 - 1) × π
    -0.164459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.516663904104965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36921000} λ = 0.36921000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516663904104965))-π/2
    2×atan(0.596507237580741)-π/2
    2×0.537847334760049-π/2
    1.0756946695201-1.57079632675     		φ = -0.49510166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36921000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.154175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49510166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.367236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73238 KachelY 76314 0.36921000 -0.49510166 21.154175 -28.367236
    Oben rechts KachelX + 1 73239 KachelY 76314 0.36925794 -0.49510166 21.156922 -28.367236
    Unten links KachelX 73238 KachelY + 1 76315 0.36921000 -0.49514384 21.154175 -28.369652
    Unten rechts KachelX + 1 73239 KachelY + 1 76315 0.36925794 -0.49514384 21.156922 -28.369652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49510166--0.49514384) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49510166--0.49514384) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36921000-0.36925794) × cos(-0.49510166) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879920413571488 × 6371000     		do = 268.750343456313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36921000-0.36925794) × cos(-0.49514384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879900372180469 × 6371000     		du = 268.74422229963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49510166)-sin(-0.49514384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879920413571488-0.879900372180469)×R²
    abs(0.36925794-0.36921000)×2.00413910197428e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00413910197428e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00413910197428e-05×40589641000000     		ar = 72220.1294668602m²