Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73237 / 76315
↖ ↑ ↗
← S 28.369652°
E 21.151428°		 ← 268.74 m → S 28.369652°
E 21.154175°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.372069°
E 21.151428°		 ← 268.74 m →
72 218 m²		 S 28.372069°
E 21.154175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558757781982422 y=0.582241058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558757781982422 × 217)
    floor (0.558757781982422 × 131072)
    floor (73237.5)     		tx = 73237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582241058349609 × 217)
    floor (0.582241058349609 × 131072)
    floor (76315.5)     		ty = 76315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73237 / 76315 ti = "17/73237/76315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73237/76315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73237 ÷ 217
    73237 ÷ 131072     		x = 0.558753967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76315 ÷ 217
    76315 ÷ 131072     		y = 0.582237243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558753967285156 × 2 - 1) × π
    0.117507934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.36916206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582237243652344 × 2 - 1) × π
    -0.164474487304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.516711841004585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36916206} λ = 0.36916206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516711841004585))-π/2
    2×atan(0.596478643558531)-π/2
    2×0.537826244671928-π/2
    1.07565248934386-1.57079632675     		φ = -0.49514384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36916206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.151428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49514384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.369652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73237 KachelY 76315 0.36916206 -0.49514384 21.151428 -28.369652
    Oben rechts KachelX + 1 73238 KachelY 76315 0.36921000 -0.49514384 21.154175 -28.369652
    Unten links KachelX 73237 KachelY + 1 76316 0.36916206 -0.49518602 21.151428 -28.372069
    Unten rechts KachelX + 1 73238 KachelY + 1 76316 0.36921000 -0.49518602 21.154175 -28.372069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49514384--0.49518602) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49514384--0.49518602) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36916206-0.36921000) × cos(-0.49514384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879900372180469 × 6371000     		do = 268.744222299319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36916206-0.36921000) × cos(-0.49518602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879880329223972 × 6371000     		du = 268.738100664499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49514384)-sin(-0.49518602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879900372180469-0.879880329223972)×R²
    abs(0.36921000-0.36916206)×2.0042956496602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0042956496602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0042956496602e-05×40589641000000     		ar = 72218.484471478m²