Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73234 / 76317
↖ ↑ ↗
← S 28.374485°
E 21.143188°		 ← 268.73 m → S 28.374485°
E 21.145935°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.376902°
E 21.143188°		 ← 268.73 m →
72 215 m²		 S 28.376902°
E 21.145935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558734893798828 y=0.582256317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558734893798828 × 217)
    floor (0.558734893798828 × 131072)
    floor (73234.5)     		tx = 73234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582256317138672 × 217)
    floor (0.582256317138672 × 131072)
    floor (76317.5)     		ty = 76317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73234 / 76317 ti = "17/73234/76317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73234/76317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73234 ÷ 217
    73234 ÷ 131072     		x = 0.558731079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76317 ÷ 217
    76317 ÷ 131072     		y = 0.582252502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558731079101562 × 2 - 1) × π
    0.117462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36901825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582252502441406 × 2 - 1) × π
    -0.164505004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.516807714803825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36901825} λ = 0.36901825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516807714803825))-π/2
    2×atan(0.596421459626071)-π/2
    2×0.537784065936841-π/2
    1.07556813187368-1.57079632675     		φ = -0.49522819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36901825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.143188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49522819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.374485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73234 KachelY 76317 0.36901825 -0.49522819 21.143188 -28.374485
    Oben rechts KachelX + 1 73235 KachelY 76317 0.36906619 -0.49522819 21.145935 -28.374485
    Unten links KachelX 73234 KachelY + 1 76318 0.36901825 -0.49527037 21.143188 -28.376902
    Unten rechts KachelX + 1 73235 KachelY + 1 76318 0.36906619 -0.49527037 21.145935 -28.376902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49522819--0.49527037) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49522819--0.49527037) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36901825-0.36906619) × cos(-0.49522819) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879860289454359 × 6371000     		do = 268.731980003347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36901825-0.36906619) × cos(-0.49527037) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879840243367386 × 6371000     		du = 268.725857412399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49522819)-sin(-0.49527037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879860289454359-0.879840243367386)×R²
    abs(0.36906619-0.36901825)×2.00460869722585e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00460869722585e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00460869722585e-05×40589641000000     		ar = 72215.1944858253m²