Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73232 / 77328
↖ ↑ ↗
← S 30.789036°
E 21.137695°		 ← 262.38 m → S 30.789036°
E 21.140442°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
S 30.791396°
E 21.137695°		 ← 262.37 m →
68 836 m²		 S 30.791396°
E 21.140442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558719635009766 y=0.589969635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558719635009766 × 217)
    floor (0.558719635009766 × 131072)
    floor (73232.5)     		tx = 73232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589969635009766 × 217)
    floor (0.589969635009766 × 131072)
    floor (77328.5)     		ty = 77328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73232 / 77328 ti = "17/73232/77328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73232/77328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73232 ÷ 217
    73232 ÷ 131072     		x = 0.5587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77328 ÷ 217
    77328 ÷ 131072     		y = 0.5899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.565271920319702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36892238} λ = 0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565271920319702))-π/2
    2×atan(0.568205619095286)-π/2
    2×0.516713130990865-π/2
    1.03342626198173-1.57079632675     		φ = -0.53737006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53737006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.789036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73232 KachelY 77328 0.36892238 -0.53737006 21.137695 -30.789036
    Oben rechts KachelX + 1 73233 KachelY 77328 0.36897032 -0.53737006 21.140442 -30.789036
    Unten links KachelX 73232 KachelY + 1 77329 0.36892238 -0.53741124 21.137695 -30.791396
    Unten rechts KachelX + 1 73233 KachelY + 1 77329 0.36897032 -0.53741124 21.140442 -30.791396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53737006--0.53741124) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53737006--0.53741124) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36892238-0.36897032) × cos(-0.53737006) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859057860409472 × 6371000     		do = 262.378382718511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36892238-0.36897032) × cos(-0.53741124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859036780524709 × 6371000     		du = 262.371944379109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53737006)-sin(-0.53741124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859057860409472-0.859036780524709)×R²
    abs(0.36897032-0.36892238)×2.10798847627425e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10798847627425e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10798847627425e-05×40589641000000     		ar = 68836.1654453339m²