Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73232 / 76304
↖ ↑ ↗
← S 28.343065°
E 21.137695°		 ← 268.81 m → S 28.343065°
E 21.140442°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 28.345482°
E 21.137695°		 ← 268.81 m →
72 254 m²		 S 28.345482°
E 21.140442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558719635009766 y=0.582157135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558719635009766 × 217)
    floor (0.558719635009766 × 131072)
    floor (73232.5)     		tx = 73232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582157135009766 × 217)
    floor (0.582157135009766 × 131072)
    floor (76304.5)     		ty = 76304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73232 / 76304 ti = "17/73232/76304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73232/76304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73232 ÷ 217
    73232 ÷ 131072     		x = 0.5587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76304 ÷ 217
    76304 ÷ 131072     		y = 0.5821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5587158203125 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.516184535108765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36892238} λ = 0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516184535108765))-π/2
    2×atan(0.596793253204481)-π/2
    2×0.538058262056112-π/2
    1.07611652411222-1.57079632675     		φ = -0.49467980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49467980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.343065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73232 KachelY 76304 0.36892238 -0.49467980 21.137695 -28.343065
    Oben rechts KachelX + 1 73233 KachelY 76304 0.36897032 -0.49467980 21.140442 -28.343065
    Unten links KachelX 73232 KachelY + 1 76305 0.36892238 -0.49472199 21.137695 -28.345482
    Unten rechts KachelX + 1 73233 KachelY + 1 76305 0.36897032 -0.49472199 21.140442 -28.345482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49467980--0.49472199) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49467980--0.49472199) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36892238-0.36897032) × cos(-0.49467980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880120769857609 × 6371000     		do = 268.811537423265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36892238-0.36897032) × cos(-0.49472199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880100739377676 × 6371000     		du = 268.805419599109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49467980)-sin(-0.49472199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880120769857609-0.880100739377676)×R²
    abs(0.36897032-0.36892238)×2.0030479933042e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0030479933042e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0030479933042e-05×40589641000000     		ar = 72253.7002827815m²