Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73231 / 76306
↖ ↑ ↗
← S 28.347899°
E 21.134949°		 ← 268.80 m → S 28.347899°
E 21.137695°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 28.350317°
E 21.134949°		 ← 268.79 m →
72 250 m²		 S 28.350317°
E 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558712005615234 y=0.582172393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558712005615234 × 217)
    floor (0.558712005615234 × 131072)
    floor (73231.5)     		tx = 73231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582172393798828 × 217)
    floor (0.582172393798828 × 131072)
    floor (76306.5)     		ty = 76306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73231 / 76306 ti = "17/73231/76306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73231/76306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73231 ÷ 217
    73231 ÷ 131072     		x = 0.558708190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76306 ÷ 217
    76306 ÷ 131072     		y = 0.582168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558708190917969 × 2 - 1) × π
    0.117416381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36887444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582168579101562 × 2 - 1) × π
    -0.164337158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516280408908005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36887444} λ = 0.36887444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516280408908005))-π/2
    2×atan(0.596736039110645)-π/2
    2×0.538016072755378-π/2
    1.07603214551076-1.57079632675     		φ = -0.49476418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36887444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.134949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49476418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.347899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73231 KachelY 76306 0.36887444 -0.49476418 21.134949 -28.347899
    Oben rechts KachelX + 1 73232 KachelY 76306 0.36892238 -0.49476418 21.137695 -28.347899
    Unten links KachelX 73231 KachelY + 1 76307 0.36887444 -0.49480637 21.134949 -28.350317
    Unten rechts KachelX + 1 73232 KachelY + 1 76307 0.36892238 -0.49480637 21.137695 -28.350317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49476418--0.49480637) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49476418--0.49480637) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36887444-0.36892238) × cos(-0.49476418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880080707331167 × 6371000     		do = 268.799301296169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36887444-0.36892238) × cos(-0.49480637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880060673718118 × 6371000     		du = 268.793182515078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49476418)-sin(-0.49480637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880080707331167-0.880060673718118)×R²
    abs(0.36892238-0.36887444)×2.00336130491419e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00336130491419e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00336130491419e-05×40589641000000     		ar = 72250.4111751425m²