Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73231 / 76305
↖ ↑ ↗
← S 28.345482°
E 21.134949°		 ← 268.81 m → S 28.345482°
E 21.137695°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 28.347899°
E 21.134949°		 ← 268.80 m →
72 252 m²		 S 28.347899°
E 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558712005615234 y=0.582164764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558712005615234 × 217)
    floor (0.558712005615234 × 131072)
    floor (73231.5)     		tx = 73231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582164764404297 × 217)
    floor (0.582164764404297 × 131072)
    floor (76305.5)     		ty = 76305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73231 / 76305 ti = "17/73231/76305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73231/76305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73231 ÷ 217
    73231 ÷ 131072     		x = 0.558708190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76305 ÷ 217
    76305 ÷ 131072     		y = 0.582160949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558708190917969 × 2 - 1) × π
    0.117416381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36887444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582160949707031 × 2 - 1) × π
    -0.164321899414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.516232472008385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36887444} λ = 0.36887444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516232472008385))-π/2
    2×atan(0.596764645471897)-π/2
    2×0.53803716716569-π/2
    1.07607433433138-1.57079632675     		φ = -0.49472199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36887444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.134949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49472199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.345482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73231 KachelY 76305 0.36887444 -0.49472199 21.134949 -28.345482
    Oben rechts KachelX + 1 73232 KachelY 76305 0.36892238 -0.49472199 21.137695 -28.345482
    Unten links KachelX 73231 KachelY + 1 76306 0.36887444 -0.49476418 21.134949 -28.347899
    Unten rechts KachelX + 1 73232 KachelY + 1 76306 0.36892238 -0.49476418 21.137695 -28.347899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49472199--0.49476418) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49472199--0.49476418) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36887444-0.36892238) × cos(-0.49472199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880100739377676 × 6371000     		do = 268.805419598797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36887444-0.36892238) × cos(-0.49476418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880080707331167 × 6371000     		du = 268.799301296169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49472199)-sin(-0.49476418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880100739377676-0.880080707331167)×R²
    abs(0.36892238-0.36887444)×2.0032046508911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0032046508911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0032046508911e-05×40589641000000     		ar = 72252.0557933525m²