Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73222 / 76294
↖ ↑ ↗
← S 28.318889°
E 21.110229°		 ← 268.87 m → S 28.318889°
E 21.112976°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 28.321307°
E 21.110229°		 ← 268.87 m →
72 287 m²		 S 28.321307°
E 21.112976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558643341064453 y=0.582080841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558643341064453 × 217)
    floor (0.558643341064453 × 131072)
    floor (73222.5)     		tx = 73222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582080841064453 × 217)
    floor (0.582080841064453 × 131072)
    floor (76294.5)     		ty = 76294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73222 / 76294 ti = "17/73222/76294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73222/76294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73222 ÷ 217
    73222 ÷ 131072     		x = 0.558639526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76294 ÷ 217
    76294 ÷ 131072     		y = 0.582077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558639526367188 × 2 - 1) × π
    0.117279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36844301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582077026367188 × 2 - 1) × π
    -0.164154052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.515705166112564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36844301} λ = 0.36844301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515705166112564))-π/2
    2×atan(0.597079405968111)-π/2
    2×0.538269237360546-π/2
    1.07653847472109-1.57079632675     		φ = -0.49425785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36844301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.110229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49425785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.318889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73222 KachelY 76294 0.36844301 -0.49425785 21.110229 -28.318889
    Oben rechts KachelX + 1 73223 KachelY 76294 0.36849095 -0.49425785 21.112976 -28.318889
    Unten links KachelX 73222 KachelY + 1 76295 0.36844301 -0.49430005 21.110229 -28.321307
    Unten rechts KachelX + 1 73223 KachelY + 1 76295 0.36849095 -0.49430005 21.112976 -28.321307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49425785--0.49430005) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49425785--0.49430005) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36844301-0.36849095) × cos(-0.49425785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880321012206347 × 6371000     		do = 268.872696590496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36844301-0.36849095) × cos(-0.49430005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880300992651834 × 6371000     		du = 268.866582103245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49425785)-sin(-0.49430005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880321012206347-0.880300992651834)×R²
    abs(0.36849095-0.36844301)×2.00195545125847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00195545125847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00195545125847e-05×40589641000000     		ar = 72287.2695409011m²