Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73220 / 78401
↖ ↑ ↗
← S 33.286916°
E 21.104737°		 ← 255.26 m → S 33.286916°
E 21.107483°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
S 33.289212°
E 21.104737°		 ← 255.26 m →
65 164 m²		 S 33.289212°
E 21.107483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558628082275391 y=0.598155975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558628082275391 × 217)
    floor (0.558628082275391 × 131072)
    floor (73220.5)     		tx = 73220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598155975341797 × 217)
    floor (0.598155975341797 × 131072)
    floor (78401.5)     		ty = 78401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73220 / 78401 ti = "17/73220/78401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73220/78401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73220 ÷ 217
    73220 ÷ 131072     		x = 0.558624267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78401 ÷ 217
    78401 ÷ 131072     		y = 0.598152160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558624267578125 × 2 - 1) × π
    0.11724853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36834714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598152160644531 × 2 - 1) × π
    -0.196304321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.616708213612022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36834714} λ = 0.36834714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616708213612022))-π/2
    2×atan(0.539718153517158)-π/2
    2×0.494915022763875-π/2
    0.989830045527749-1.57079632675     		φ = -0.58096628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36834714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.104737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58096628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.286916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73220 KachelY 78401 0.36834714 -0.58096628 21.104737 -33.286916
    Oben rechts KachelX + 1 73221 KachelY 78401 0.36839507 -0.58096628 21.107483 -33.286916
    Unten links KachelX 73220 KachelY + 1 78402 0.36834714 -0.58100635 21.104737 -33.289212
    Unten rechts KachelX + 1 73221 KachelY + 1 78402 0.36839507 -0.58100635 21.107483 -33.289212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58096628--0.58100635) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dl = 255.285970000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58096628--0.58100635) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dr = 255.285970000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36834714-0.36839507) × cos(-0.58096628) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.83593271492663 × 6371000     		do = 255.262110773268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36834714-0.36839507) × cos(-0.58100635) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835910722559794 × 6371000     		du = 255.255395139486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58096628)-sin(-0.58100635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83593271492663-0.835910722559794)×R²
    abs(0.36839507-0.36834714)×2.19923668367539e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19923668367539e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19923668367539e-05×40589641000000     		ar = 65163.9783582773m²