Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73216 / 76288
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
E 21.093750°		 ← 268.91 m → S 28.304381°
E 21.096497°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 28.306799°
E 21.093750°		 ← 268.90 m →
72 297 m²		 S 28.306799°
E 21.096497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558597564697266 y=0.582035064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558597564697266 × 217)
    floor (0.558597564697266 × 131072)
    floor (73216.5)     		tx = 73216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582035064697266 × 217)
    floor (0.582035064697266 × 131072)
    floor (76288.5)     		ty = 76288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73216 / 76288 ti = "17/73216/76288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73216/76288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73216 ÷ 217
    73216 ÷ 131072     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76288 ÷ 217
    76288 ÷ 131072     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73216 KachelY 76288 0.36815539 -0.49400464 21.093750 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 73217 KachelY 76288 0.36820333 -0.49400464 21.096497 -28.304381
    Unten links KachelX 73216 KachelY + 1 76289 0.36815539 -0.49404684 21.093750 -28.306799
    Unten rechts KachelX + 1 73217 KachelY + 1 76289 0.36820333 -0.49404684 21.096497 -28.306799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.49404684) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.49404684) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.36820333) × cos(-0.49400464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 268.909374906613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.36820333) × cos(-0.49404684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88042109120446 × 6371000     		du = 268.903263292553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.49404684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.88042109120446)×R²
    abs(0.36820333-0.36815539)×2.00101473412095e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00101473412095e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00101473412095e-05×40589641000000     		ar = 72297.1311197452m²