Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73215 / 77311
↖ ↑ ↗
← S 30.748917°
E 21.091003°		 ← 262.49 m → S 30.748917°
E 21.093750°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.751278°
E 21.091003°		 ← 262.48 m →
68 898 m²		 S 30.751278°
E 21.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558589935302734 y=0.589839935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558589935302734 × 217)
    floor (0.558589935302734 × 131072)
    floor (73215.5)     		tx = 73215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589839935302734 × 217)
    floor (0.589839935302734 × 131072)
    floor (77311.5)     		ty = 77311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73215 / 77311 ti = "17/73215/77311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73215/77311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73215 ÷ 217
    73215 ÷ 131072     		x = 0.558586120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77311 ÷ 217
    77311 ÷ 131072     		y = 0.589836120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558586120605469 × 2 - 1) × π
    0.117172241210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36810745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589836120605469 × 2 - 1) × π
    -0.179672241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.564456993026161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36810745} λ = 0.36810745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564456993026161))-π/2
    2×atan(0.568668854088413)-π/2
    2×0.517063238827423-π/2
    1.03412647765485-1.57079632675     		φ = -0.53666985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36810745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.091003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53666985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.748917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73215 KachelY 77311 0.36810745 -0.53666985 21.091003 -30.748917
    Oben rechts KachelX + 1 73216 KachelY 77311 0.36815539 -0.53666985 21.093750 -30.748917
    Unten links KachelX 73215 KachelY + 1 77312 0.36810745 -0.53671105 21.091003 -30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 73216 KachelY + 1 77312 0.36815539 -0.53671105 21.093750 -30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53666985--0.53671105) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dl = 262.485199999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53666985--0.53671105) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dr = 262.485199999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36810745-0.36815539) × cos(-0.53666985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859416072224896 × 6371000     		do = 262.487789827314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36810745-0.36815539) × cos(-0.53671105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 262.481355931626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53666985)-sin(-0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859416072224896-0.859395006889381)×R²
    abs(0.36815539-0.36810745)×2.1065335515047e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1065335515047e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1065335515047e-05×40589641000000     		ar = 68898.3156188441m²