Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7320 / 5480
↖ ↑ ↗
← N 75.909504°
W 99.580078°		 ← 297.40 m → N 75.909504°
W 99.569092°		 →
↑
297.46 m
↓
↑
297.46 m
↓
N 75.906829°
W 99.580078°		 ← 297.45 m →
88 473 m²		 N 75.906829°
W 99.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223403930664062 y=0.167251586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223403930664062 × 215)
    floor (0.223403930664062 × 32768)
    floor (7320.5)     		tx = 7320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167251586914062 × 215)
    floor (0.167251586914062 × 32768)
    floor (5480.5)     		ty = 5480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7320 / 5480 ti = "15/7320/5480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7320/5480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7320 ÷ 215
    7320 ÷ 32768     		x = 0.223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5480 ÷ 215
    5480 ÷ 32768     		y = 0.167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.55322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73800023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167236328125 × 2 - 1) × π
    0.66552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09081581382837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73800023} λ = -1.73800023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09081581382837))-π/2
    2×atan(8.09151364109563)-π/2
    2×1.44783355262844-π/2
    2.89566710525688-1.57079632675     		φ = 1.32487078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73800023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32487078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.909504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7320 KachelY 5480 -1.73800023 1.32487078 -99.580078 75.909504
    Oben rechts KachelX + 1 7321 KachelY 5480 -1.73780849 1.32487078 -99.569092 75.909504
    Unten links KachelX 7320 KachelY + 1 5481 -1.73800023 1.32482409 -99.580078 75.906829
    Unten rechts KachelX + 1 7321 KachelY + 1 5481 -1.73780849 1.32482409 -99.569092 75.906829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32487078-1.32482409) × R
    4.66900000000159e-05 × 6371000     		dl = 297.461990000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32487078-1.32482409) × R
    4.66900000000159e-05 × 6371000     		dr = 297.461990000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73800023--1.73780849) × cos(1.32487078) × R
    0.000191739999999996 × 0.243454128260775 × 6371000     		do = 297.397608195379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73800023--1.73780849) × cos(1.32482409) × R
    0.000191739999999996 × 0.243499413205927 × 6371000     		du = 297.452927176707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32487078)-sin(1.32482409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243454128260775-0.243499413205927)×R²
    abs(-1.73780849--1.73800023)×4.5284945151769e-05×R²
    0.000191739999999996×4.5284945151769e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.5284945151769e-05×40589641000000     		ar = 88472.7120178358m²