Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7320 / 5304
↖ ↑ ↗
← N 76.372620°
W 99.580078°		 ← 287.81 m → N 76.372620°
W 99.569092°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 76.370031°
W 99.580078°		 ← 287.86 m →
82 852 m²		 N 76.370031°
W 99.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223403930664062 y=0.161880493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223403930664062 × 215)
    floor (0.223403930664062 × 32768)
    floor (7320.5)     		tx = 7320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161880493164062 × 215)
    floor (0.161880493164062 × 32768)
    floor (5304.5)     		ty = 5304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7320 / 5304 ti = "15/7320/5304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7320/5304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7320 ÷ 215
    7320 ÷ 32768     		x = 0.223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5304 ÷ 215
    5304 ÷ 32768     		y = 0.161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.55322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73800023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161865234375 × 2 - 1) × π
    0.67626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12456339116089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73800023} λ = -1.73800023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12456339116089))-π/2
    2×atan(8.36924260501017)-π/2
    2×1.45187499755894-π/2
    2.90374999511787-1.57079632675     		φ = 1.33295367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73800023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33295367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.372620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7320 KachelY 5304 -1.73800023 1.33295367 -99.580078 76.372620
    Oben rechts KachelX + 1 7321 KachelY 5304 -1.73780849 1.33295367 -99.569092 76.372620
    Unten links KachelX 7320 KachelY + 1 5305 -1.73800023 1.33290849 -99.580078 76.370031
    Unten rechts KachelX + 1 7321 KachelY + 1 5305 -1.73780849 1.33290849 -99.569092 76.370031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33295367-1.33290849) × R
    4.5180000000089e-05 × 6371000     		dl = 287.841780000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33295367-1.33290849) × R
    4.5180000000089e-05 × 6371000     		dr = 287.841780000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73800023--1.73780849) × cos(1.33295367) × R
    0.000191739999999996 × 0.235606565523478 × 6371000     		do = 287.811217506881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73800023--1.73780849) × cos(1.33290849) × R
    0.000191739999999996 × 0.235650473399143 × 6371000     		du = 287.864854293808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33295367)-sin(1.33290849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235606565523478-0.235650473399143)×R²
    abs(-1.73780849--1.73800023)×4.39078756654943e-05×R²
    0.000191739999999996×4.39078756654943e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.39078756654943e-05×40589641000000     		ar = 82851.8126195819m²