Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7320 / 3704
↖ ↑ ↗
← N 69.718107°
W 19.160156°		 ← 846.91 m → N 69.718107°
W 19.138184°		 →
↑
847.09 m
↓
↑
847.09 m
↓
N 69.710489°
W 19.160156°		 ← 847.22 m →
717 540 m²		 N 69.710489°
W 19.138184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446807861328125 y=0.226104736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446807861328125 × 214)
    floor (0.446807861328125 × 16384)
    floor (7320.5)     		tx = 7320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226104736328125 × 214)
    floor (0.226104736328125 × 16384)
    floor (3704.5)     		ty = 3704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7320 / 3704 ti = "14/7320/3704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7320/3704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7320 ÷ 214
    7320 ÷ 16384     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3704 ÷ 214
    3704 ÷ 16384     		y = 0.22607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22607421875 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7211264439585))-π/2
    2×atan(5.59082266699345)-π/2
    2×1.39380341846664-π/2
    2.78760683693329-1.57079632675     		φ = 1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7320 KachelY 3704 -0.33440781 1.21681051 -19.160156 69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 7321 KachelY 3704 -0.33402432 1.21681051 -19.138184 69.718107
    Unten links KachelX 7320 KachelY + 1 3705 -0.33440781 1.21667755 -19.160156 69.710489
    Unten rechts KachelX + 1 7321 KachelY + 1 3705 -0.33402432 1.21667755 -19.138184 69.710489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21681051-1.21667755) × R
    0.00013295999999996 × 6371000     		dl = 847.088159999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21681051-1.21667755) × R
    0.00013295999999996 × 6371000     		dr = 847.088159999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(1.21681051) × R
    0.000383490000000042 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 846.914121181251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33402432) × cos(1.21667755) × R
    0.000383490000000042 × 0.3467639545372 × 6371000     		du = 847.218822364268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21681051)-sin(1.21667755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.3467639545372)×R²
    abs(-0.33402432--0.33440781)×0.00012471321975599×R²
    0.000383490000000042×0.00012471321975599×6371000²
    0.000383490000000042×0.00012471321975599×40589641000000     		ar = 717539.980027003m²