Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 732 / 875
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
W 51.328125°		 ← 17.668 km → N 25.324167°
W 51.152344°		 →
↑
17.679 km
↓
↑
17.679 km
↓
N 25.165173°
W 51.328125°		 ← 17.691 km →
312.556 km²		 N 25.165173°
W 51.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357666015625 y=0.427490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357666015625 × 211)
    floor (0.357666015625 × 2048)
    floor (732.5)     		tx = 732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427490234375 × 211)
    floor (0.427490234375 × 2048)
    floor (875.5)     		ty = 875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 732 / 875 ti = "11/732/875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/732/875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 732 ÷ 211
    732 ÷ 2048     		x = 0.357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 875 ÷ 211
    875 ÷ 2048     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357421875 × 2 - 1) × π
    -0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89584478} λ = -0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 732 KachelY 875 -0.89584478 0.44199009 -51.328125 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 733 KachelY 875 -0.89277682 0.44199009 -51.152344 25.324167
    Unten links KachelX 732 KachelY + 1 876 -0.89584478 0.43921513 -51.328125 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 733 KachelY + 1 876 -0.89277682 0.43921513 -51.152344 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.43921513) × R
    0.00277495999999999 × 6371000     		dl = 17679.27016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.43921513) × R
    0.00277495999999999 × 6371000     		dr = 17679.27016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89584478--0.89277682) × cos(0.44199009) × R
    0.00306795999999998 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 17667.6484198641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89584478--0.89277682) × cos(0.43921513) × R
    0.00306795999999998 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 17690.7806359167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.905085691620626)×R²
    abs(-0.89277682--0.89584478)×0.0011834773261612×R²
    0.00306795999999998×0.0011834773261612×6371000²
    0.00306795999999998×0.0011834773261612×40589641000000     		ar = 312555810.422335m²