Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73198 / 78509
↖ ↑ ↗
← S 33.534526°
E 21.044311°		 ← 254.59 m → S 33.534526°
E 21.047058°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
S 33.536816°
E 21.044311°		 ← 254.58 m →
64 814 m²		 S 33.536816°
E 21.047058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558460235595703 y=0.598979949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558460235595703 × 217)
    floor (0.558460235595703 × 131072)
    floor (73198.5)     		tx = 73198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598979949951172 × 217)
    floor (0.598979949951172 × 131072)
    floor (78509.5)     		ty = 78509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73198 / 78509 ti = "17/73198/78509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73198/78509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73198 ÷ 217
    73198 ÷ 131072     		x = 0.558456420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78509 ÷ 217
    78509 ÷ 131072     		y = 0.598976135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558456420898438 × 2 - 1) × π
    0.116912841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36729252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598976135253906 × 2 - 1) × π
    -0.197952270507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.621885398770988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36729252} λ = 0.36729252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621885398770988))-π/2
    2×atan(0.536931153335784)-π/2
    2×0.492754211606421-π/2
    0.985508423212841-1.57079632675     		φ = -0.58528790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36729252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.044311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58528790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.534526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73198 KachelY 78509 0.36729252 -0.58528790 21.044311 -33.534526
    Oben rechts KachelX + 1 73199 KachelY 78509 0.36734046 -0.58528790 21.047058 -33.534526
    Unten links KachelX 73198 KachelY + 1 78510 0.36729252 -0.58532786 21.044311 -33.536816
    Unten rechts KachelX + 1 73199 KachelY + 1 78510 0.36734046 -0.58532786 21.047058 -33.536816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58528790--0.58532786) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dl = 254.585160000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58528790--0.58532786) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dr = 254.585160000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36729252-0.36734046) × cos(-0.58528790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83355307313536 × 6371000     		do = 254.588564191475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36729252-0.36734046) × cos(-0.58532786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833530996992026 × 6371000     		du = 254.58182156906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58528790)-sin(-0.58532786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83355307313536-0.833530996992026)×R²
    abs(0.36734046-0.36729252)×2.20761433341599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20761433341599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20761433341599e-05×40589641000000     		ar = 64813.6120719201m²