Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73197 / 78507
↖ ↑ ↗
← S 33.529948°
E 21.041565°		 ← 254.55 m → S 33.529948°
E 21.044311°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
S 33.532238°
E 21.041565°		 ← 254.54 m →
64 804 m²		 S 33.532238°
E 21.044311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558452606201172 y=0.598964691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558452606201172 × 217)
    floor (0.558452606201172 × 131072)
    floor (73197.5)     		tx = 73197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598964691162109 × 217)
    floor (0.598964691162109 × 131072)
    floor (78507.5)     		ty = 78507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73197 / 78507 ti = "17/73197/78507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73197/78507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73197 ÷ 217
    73197 ÷ 131072     		x = 0.558448791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78507 ÷ 217
    78507 ÷ 131072     		y = 0.598960876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558448791503906 × 2 - 1) × π
    0.116897583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.36724459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598960876464844 × 2 - 1) × π
    -0.197921752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.621789524971748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36724459} λ = 0.36724459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621789524971748))-π/2
    2×atan(0.536982633433142)-π/2
    2×0.492794170614472-π/2
    0.985588341228945-1.57079632675     		φ = -0.58520799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36724459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.041565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58520799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.529948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73197 KachelY 78507 0.36724459 -0.58520799 21.041565 -33.529948
    Oben rechts KachelX + 1 73198 KachelY 78507 0.36729252 -0.58520799 21.044311 -33.529948
    Unten links KachelX 73197 KachelY + 1 78508 0.36724459 -0.58524795 21.041565 -33.532238
    Unten rechts KachelX + 1 73198 KachelY + 1 78508 0.36729252 -0.58524795 21.044311 -33.532238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58520799--0.58524795) × R
    3.995999999995e-05 × 6371000     		dl = 254.585159999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58520799--0.58524795) × R
    3.995999999995e-05 × 6371000     		dr = 254.585159999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36724459-0.36729252) × cos(-0.58520799) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.833597215905209 × 6371000     		do = 254.548938051319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36724459-0.36729252) × cos(-0.58524795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.833575142423615 × 6371000     		du = 254.54219764817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58520799)-sin(-0.58524795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833597215905209-0.833575142423615)×R²
    abs(0.36729252-0.36724459)×2.20734815943313e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20734815943313e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20734815943313e-05×40589641000000     		ar = 64803.5241267818m²