Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73195 / 78503
↖ ↑ ↗
← S 33.520789°
E 21.036072°		 ← 254.63 m → S 33.520789°
E 21.038818°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
S 33.523079°
E 21.036072°		 ← 254.62 m →
64 824 m²		 S 33.523079°
E 21.038818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558437347412109 y=0.598934173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558437347412109 × 217)
    floor (0.558437347412109 × 131072)
    floor (73195.5)     		tx = 73195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598934173583984 × 217)
    floor (0.598934173583984 × 131072)
    floor (78503.5)     		ty = 78503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73195 / 78503 ti = "17/73195/78503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73195/78503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73195 ÷ 217
    73195 ÷ 131072     		x = 0.558433532714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78503 ÷ 217
    78503 ÷ 131072     		y = 0.598930358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558433532714844 × 2 - 1) × π
    0.116867065429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.36714871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598930358886719 × 2 - 1) × π
    -0.197860717773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.621597777373268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36714871} λ = 0.36714871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621597777373268))-π/2
    2×atan(0.537085608435817)-π/2
    2×0.492874094979058-π/2
    0.985748189958115-1.57079632675     		φ = -0.58504814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36714871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.036072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58504814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.520789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73195 KachelY 78503 0.36714871 -0.58504814 21.036072 -33.520789
    Oben rechts KachelX + 1 73196 KachelY 78503 0.36719665 -0.58504814 21.038818 -33.520789
    Unten links KachelX 73195 KachelY + 1 78504 0.36714871 -0.58508810 21.036072 -33.523079
    Unten rechts KachelX + 1 73196 KachelY + 1 78504 0.36719665 -0.58508810 21.038818 -33.523079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58504814--0.58508810) × R
    3.995999999995e-05 × 6371000     		dl = 254.585159999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58504814--0.58508810) × R
    3.995999999995e-05 × 6371000     		dr = 254.585159999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36714871-0.36719665) × cos(-0.58504814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833685502042735 × 6371000     		do = 254.629011388802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36714871-0.36719665) × cos(-0.58508810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833663433886043 × 6371000     		du = 254.622271205714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58504814)-sin(-0.58508810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833685502042735-0.833663433886043)×R²
    abs(0.36719665-0.36714871)×2.20681566922565e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20681566922565e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20681566922565e-05×40589641000000     		ar = 64823.9096381999m²