Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73191 / 76013
↖ ↑ ↗
← S 27.637307°
E 21.025086°		 ← 270.52 m → S 27.637307°
E 21.027832°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.639740°
E 21.025086°		 ← 270.51 m →
73 196 m²		 S 27.639740°
E 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558406829833984 y=0.579936981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558406829833984 × 217)
    floor (0.558406829833984 × 131072)
    floor (73191.5)     		tx = 73191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579936981201172 × 217)
    floor (0.579936981201172 × 131072)
    floor (76013.5)     		ty = 76013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73191 / 76013 ti = "17/73191/76013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73191/76013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73191 ÷ 217
    73191 ÷ 131072     		x = 0.558403015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76013 ÷ 217
    76013 ÷ 131072     		y = 0.579933166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558403015136719 × 2 - 1) × π
    0.116806030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36695697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579933166503906 × 2 - 1) × π
    -0.159866333007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.502234897319328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36695697} λ = 0.36695697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502234897319328))-π/2
    2×atan(0.605176639578719)-π/2
    2×0.544217161460681-π/2
    1.08843432292136-1.57079632675     		φ = -0.48236200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36695697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.025086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48236200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.637307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73191 KachelY 76013 0.36695697 -0.48236200 21.025086 -27.637307
    Oben rechts KachelX + 1 73192 KachelY 76013 0.36700490 -0.48236200 21.027832 -27.637307
    Unten links KachelX 73191 KachelY + 1 76014 0.36695697 -0.48240447 21.025086 -27.639740
    Unten rechts KachelX + 1 73192 KachelY + 1 76014 0.36700490 -0.48240447 21.027832 -27.639740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48236200--0.48240447) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dl = 270.576369999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48236200--0.48240447) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dr = 270.576369999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36695697-0.36700490) × cos(-0.48236200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885901727090152 × 6371000     		do = 270.52074976492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36695697-0.36700490) × cos(-0.48240447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885882025606279 × 6371000     		du = 270.514733679811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48236200)-sin(-0.48240447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885901727090152-0.885882025606279)×R²
    abs(0.36700490-0.36695697)×1.97014838728693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97014838728693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97014838728693e-05×40589641000000     		ar = 73195.7085868294m²