Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73190 / 78514
↖ ↑ ↗
← S 33.545973°
E 21.022339°		 ← 254.55 m → S 33.545973°
E 21.025086°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
S 33.548262°
E 21.022339°		 ← 254.55 m →
64 789 m²		 S 33.548262°
E 21.025086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558399200439453 y=0.599018096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558399200439453 × 217)
    floor (0.558399200439453 × 131072)
    floor (73190.5)     		tx = 73190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599018096923828 × 217)
    floor (0.599018096923828 × 131072)
    floor (78514.5)     		ty = 78514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73190 / 78514 ti = "17/73190/78514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73190/78514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73190 ÷ 217
    73190 ÷ 131072     		x = 0.558395385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78514 ÷ 217
    78514 ÷ 131072     		y = 0.599014282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558395385742188 × 2 - 1) × π
    0.116790771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36690903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599014282226562 × 2 - 1) × π
    -0.198028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.622125083269089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36690903} λ = 0.36690903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622125083269089))-π/2
    2×atan(0.536802474683538)-π/2
    2×0.492654323345641-π/2
    0.985308646691282-1.57079632675     		φ = -0.58548768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36690903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.022339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58548768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.545973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73190 KachelY 78514 0.36690903 -0.58548768 21.022339 -33.545973
    Oben rechts KachelX + 1 73191 KachelY 78514 0.36695697 -0.58548768 21.025086 -33.545973
    Unten links KachelX 73190 KachelY + 1 78515 0.36690903 -0.58552763 21.022339 -33.548262
    Unten rechts KachelX + 1 73191 KachelY + 1 78515 0.36695697 -0.58552763 21.025086 -33.548262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58548768--0.58552763) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dl = 254.521450000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58548768--0.58552763) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dr = 254.521450000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36690903-0.36695697) × cos(-0.58548768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833442690161324 × 6371000     		do = 254.554850389946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36690903-0.36695697) × cos(-0.58552763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833420612890482 × 6371000     		du = 254.548107423162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58548768)-sin(-0.58552763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833442690161324-0.833420612890482)×R²
    abs(0.36695697-0.36690903)×2.20772708416916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20772708416916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20772708416916e-05×40589641000000     		ar = 64788.811519681m²