Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7319 / 5305
↖ ↑ ↗
← N 76.370031°
W 99.591064°		 ← 287.88 m → N 76.370031°
W 99.580078°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 76.367442°
W 99.591064°		 ← 287.93 m →
82 890 m²		 N 76.367442°
W 99.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223373413085938 y=0.161911010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223373413085938 × 215)
    floor (0.223373413085938 × 32768)
    floor (7319.5)     		tx = 7319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161911010742188 × 215)
    floor (0.161911010742188 × 32768)
    floor (5305.5)     		ty = 5305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7319 / 5305 ti = "15/7319/5305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7319/5305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7319 ÷ 215
    7319 ÷ 32768     		x = 0.223358154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5305 ÷ 215
    5305 ÷ 32768     		y = 0.161895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.55328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73819198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161895751953125 × 2 - 1) × π
    0.67620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12437164356241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73819198} λ = -1.73819198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12437164356241))-π/2
    2×atan(8.36763797668629)-π/2
    2×1.45185240695742-π/2
    2.90370481391483-1.57079632675     		φ = 1.33290849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73819198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.591064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33290849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.370031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7319 KachelY 5305 -1.73819198 1.33290849 -99.591064 76.370031
    Oben rechts KachelX + 1 7320 KachelY 5305 -1.73800023 1.33290849 -99.580078 76.370031
    Unten links KachelX 7319 KachelY + 1 5306 -1.73819198 1.33286330 -99.591064 76.367442
    Unten rechts KachelX + 1 7320 KachelY + 1 5306 -1.73800023 1.33286330 -99.580078 76.367442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33290849-1.33286330) × R
    4.51899999998062e-05 × 6371000     		dl = 287.905489998765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33290849-1.33286330) × R
    4.51899999998062e-05 × 6371000     		dr = 287.905489998765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73819198--1.73800023) × cos(1.33290849) × R
    0.000191750000000157 × 0.235650473399143 × 6371000     		do = 287.87986758571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73819198--1.73800023) × cos(1.33286330) × R
    0.000191750000000157 × 0.235694390512063 × 6371000     		du = 287.9335184546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33290849)-sin(1.33286330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235650473399143-0.235694390512063)×R²
    abs(-1.73800023--1.73819198)×4.39171129200666e-05×R²
    0.000191750000000157×4.39171129200666e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.39171129200666e-05×40589641000000     		ar = 82889.9175416686m²