Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73189 / 76038
↖ ↑ ↗
← S 27.698120°
E 21.019592°		 ← 270.43 m → S 27.698120°
E 21.022339°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
S 27.700552°
E 21.019592°		 ← 270.42 m →
73 136 m²		 S 27.700552°
E 21.022339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558391571044922 y=0.580127716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558391571044922 × 217)
    floor (0.558391571044922 × 131072)
    floor (73189.5)     		tx = 73189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580127716064453 × 217)
    floor (0.580127716064453 × 131072)
    floor (76038.5)     		ty = 76038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73189 / 76038 ti = "17/73189/76038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73189/76038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73189 ÷ 217
    73189 ÷ 131072     		x = 0.558387756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76038 ÷ 217
    76038 ÷ 131072     		y = 0.580123901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558387756347656 × 2 - 1) × π
    0.116775512695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.36686109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580123901367188 × 2 - 1) × π
    -0.160247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.50343331980983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36686109} λ = 0.36686109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50343331980983))-π/2
    2×atan(0.604451816691897)-π/2
    2×0.54368646680882-π/2
    1.08737293361764-1.57079632675     		φ = -0.48342339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36686109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.019592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48342339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.698120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73189 KachelY 76038 0.36686109 -0.48342339 21.019592 -27.698120
    Oben rechts KachelX + 1 73190 KachelY 76038 0.36690903 -0.48342339 21.022339 -27.698120
    Unten links KachelX 73189 KachelY + 1 76039 0.36686109 -0.48346584 21.019592 -27.700552
    Unten rechts KachelX + 1 73190 KachelY + 1 76039 0.36690903 -0.48346584 21.022339 -27.700552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48342339--0.48346584) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48342339--0.48346584) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36686109-0.36690903) × cos(-0.48342339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885408878047978 × 6371000     		do = 270.426661780509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36686109-0.36690903) × cos(-0.48346584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885389145938666 × 6371000     		du = 270.420635086421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48342339)-sin(-0.48346584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885408878047978-0.885389145938666)×R²
    abs(0.36690903-0.36686109)×1.97321093111658e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97321093111658e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97321093111658e-05×40589641000000     		ar = 73135.7917849367m²