Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73187 / 75939
↖ ↑ ↗
← S 27.457102°
E 21.014099°		 ← 271.02 m → S 27.457102°
E 21.016846°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
S 27.459539°
E 21.014099°		 ← 271.02 m →
73 435 m²		 S 27.459539°
E 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558376312255859 y=0.579372406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558376312255859 × 217)
    floor (0.558376312255859 × 131072)
    floor (73187.5)     		tx = 73187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579372406005859 × 217)
    floor (0.579372406005859 × 131072)
    floor (75939.5)     		ty = 75939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73187 / 75939 ti = "17/73187/75939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73187/75939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73187 ÷ 217
    73187 ÷ 131072     		x = 0.558372497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75939 ÷ 217
    75939 ÷ 131072     		y = 0.579368591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558372497558594 × 2 - 1) × π
    0.116744995117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.36676522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579368591308594 × 2 - 1) × π
    -0.158737182617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.498687566747444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36676522} λ = 0.36676522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498687566747444))-π/2
    2×atan(0.607327213316516)-π/2
    2×0.545789745505244-π/2
    1.09157949101049-1.57079632675     		φ = -0.47921684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36676522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.014099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47921684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.457102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73187 KachelY 75939 0.36676522 -0.47921684 21.014099 -27.457102
    Oben rechts KachelX + 1 73188 KachelY 75939 0.36681316 -0.47921684 21.016846 -27.457102
    Unten links KachelX 73187 KachelY + 1 75940 0.36676522 -0.47925937 21.014099 -27.459539
    Unten rechts KachelX + 1 73188 KachelY + 1 75940 0.36681316 -0.47925937 21.016846 -27.459539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47921684--0.47925937) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dl = 270.958630000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47921684--0.47925937) × R
    4.25300000000406e-05 × 6371000     		dr = 270.958630000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36676522-0.36681316) × cos(-0.47921684) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887356297706897 × 6371000     		do = 271.021453870925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36676522-0.36681316) × cos(-0.47925937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887336686985907 × 6371000     		du = 271.015464251955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47921684)-sin(-0.47925937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887356297706897-0.887336686985907)×R²
    abs(0.36681316-0.36676522)×1.96107209906593e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96107209906593e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96107209906593e-05×40589641000000     		ar = 73434.7903830778m²