Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73187 / 55791
↖ ↑ ↗
← N 25.841921°
E 21.014099°		 ← 274.88 m → N 25.841921°
E 21.016846°		 →
↑
274.84 m
↓
↑
274.84 m
↓
N 25.839449°
E 21.014099°		 ← 274.89 m →
75 551 m²		 N 25.839449°
E 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558376312255859 y=0.425655364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558376312255859 × 217)
    floor (0.558376312255859 × 131072)
    floor (73187.5)     		tx = 73187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425655364990234 × 217)
    floor (0.425655364990234 × 131072)
    floor (55791.5)     		ty = 55791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73187 / 55791 ti = "17/73187/55791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73187/55791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73187 ÷ 217
    73187 ÷ 131072     		x = 0.558372497558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55791 ÷ 217
    55791 ÷ 131072     		y = 0.425651550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558372497558594 × 2 - 1) × π
    0.116744995117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.36676522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425651550292969 × 2 - 1) × π
    0.148696899414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.467145086797447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36676522} λ = 0.36676522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467145086797447))-π/2
    2×atan(1.59543286287035)-π/2
    2×1.01091146970796-π/2
    2.02182293941592-1.57079632675     		φ = 0.45102661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36676522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.014099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45102661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.841921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73187 KachelY 55791 0.36676522 0.45102661 21.014099 25.841921
    Oben rechts KachelX + 1 73188 KachelY 55791 0.36681316 0.45102661 21.016846 25.841921
    Unten links KachelX 73187 KachelY + 1 55792 0.36676522 0.45098347 21.014099 25.839449
    Unten rechts KachelX + 1 73188 KachelY + 1 55792 0.36681316 0.45098347 21.016846 25.839449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45102661-0.45098347) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dl = 274.844939999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45102661-0.45098347) × R
    4.31399999999971e-05 × 6371000     		dr = 274.844939999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36676522-0.36681316) × cos(0.45102661) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900000087960933 × 6371000     		do = 274.883192865671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36676522-0.36681316) × cos(0.45098347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900018891405658 × 6371000     		du = 274.888935921691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45102661)-sin(0.45098347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900000087960933-0.900018891405658)×R²
    abs(0.36681316-0.36676522)×1.88034447247132e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88034447247132e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88034447247132e-05×40589641000000     		ar = 75551.0438868315m²