Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73186 / 76386
↖ ↑ ↗
← S 28.541100°
E 21.011352°		 ← 268.31 m → S 28.541100°
E 21.014099°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.543513°
E 21.011352°		 ← 268.30 m →
71 982 m²		 S 28.543513°
E 21.014099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558368682861328 y=0.582782745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558368682861328 × 217)
    floor (0.558368682861328 × 131072)
    floor (73186.5)     		tx = 73186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582782745361328 × 217)
    floor (0.582782745361328 × 131072)
    floor (76386.5)     		ty = 76386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73186 / 76386 ti = "17/73186/76386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73186/76386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73186 ÷ 217
    73186 ÷ 131072     		x = 0.558364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76386 ÷ 217
    76386 ÷ 131072     		y = 0.582778930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558364868164062 × 2 - 1) × π
    0.116729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36671728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582778930664062 × 2 - 1) × π
    -0.165557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.520115360877609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36671728} λ = 0.36671728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520115360877609))-π/2
    2×atan(0.594451967513851)-π/2
    2×0.536330077838275-π/2
    1.07266015567655-1.57079632675     		φ = -0.49813617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36671728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.011352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49813617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.541100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73186 KachelY 76386 0.36671728 -0.49813617 21.011352 -28.541100
    Oben rechts KachelX + 1 73187 KachelY 76386 0.36676522 -0.49813617 21.014099 -28.541100
    Unten links KachelX 73186 KachelY + 1 76387 0.36671728 -0.49817828 21.011352 -28.543513
    Unten rechts KachelX + 1 73187 KachelY + 1 76387 0.36676522 -0.49817828 21.014099 -28.543513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49813617--0.49817828) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49813617--0.49817828) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36671728-0.36676522) × cos(-0.49813617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878474604774601 × 6371000     		do = 268.308756234625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36671728-0.36676522) × cos(-0.49817828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878454484299165 × 6371000     		du = 268.302610923525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49813617)-sin(-0.49817828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878474604774601-0.878454484299165)×R²
    abs(0.36676522-0.36671728)×2.01204754360917e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01204754360917e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01204754360917e-05×40589641000000     		ar = 71981.8027401523m²