Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73186 / 75998
↖ ↑ ↗
← S 27.600803°
E 21.011352°		 ← 270.67 m → S 27.600803°
E 21.014099°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
S 27.603237°
E 21.011352°		 ← 270.66 m →
73 253 m²		 S 27.603237°
E 21.014099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558368682861328 y=0.579822540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558368682861328 × 217)
    floor (0.558368682861328 × 131072)
    floor (73186.5)     		tx = 73186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579822540283203 × 217)
    floor (0.579822540283203 × 131072)
    floor (75998.5)     		ty = 75998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73186 / 75998 ti = "17/73186/75998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73186/75998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73186 ÷ 217
    73186 ÷ 131072     		x = 0.558364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75998 ÷ 217
    75998 ÷ 131072     		y = 0.579818725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558364868164062 × 2 - 1) × π
    0.116729736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36671728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579818725585938 × 2 - 1) × π
    -0.159637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501515843825027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36671728} λ = 0.36671728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501515843825027))-π/2
    2×atan(0.605611950443221)-π/2
    2×0.544535719929277-π/2
    1.08907143985855-1.57079632675     		φ = -0.48172489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36671728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.011352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48172489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.600803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73186 KachelY 75998 0.36671728 -0.48172489 21.011352 -27.600803
    Oben rechts KachelX + 1 73187 KachelY 75998 0.36676522 -0.48172489 21.014099 -27.600803
    Unten links KachelX 73186 KachelY + 1 75999 0.36671728 -0.48176737 21.011352 -27.603237
    Unten rechts KachelX + 1 73187 KachelY + 1 75999 0.36676522 -0.48176737 21.014099 -27.603237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48172489--0.48176737) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dl = 270.640079999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48172489--0.48176737) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dr = 270.640079999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36671728-0.36676522) × cos(-0.48172489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.886197085378653 × 6371000     		do = 270.667400587754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36671728-0.36676522) × cos(-0.48176737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.886177403235833 × 6371000     		du = 270.661389154719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48172489)-sin(-0.48176737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886197085378653-0.886177403235833)×R²
    abs(0.36676522-0.36671728)×1.96821428198879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96821428198879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96821428198879e-05×40589641000000     		ar = 73252.6334920365m²