Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73183 / 76062
↖ ↑ ↗
← S 27.756469°
E 21.003113°		 ← 270.28 m → S 27.756469°
E 21.005859°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.758899°
E 21.003113°		 ← 270.28 m →
73 045 m²		 S 27.758899°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558345794677734 y=0.580310821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558345794677734 × 217)
    floor (0.558345794677734 × 131072)
    floor (73183.5)     		tx = 73183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580310821533203 × 217)
    floor (0.580310821533203 × 131072)
    floor (76062.5)     		ty = 76062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73183 / 76062 ti = "17/73183/76062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73183/76062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73183 ÷ 217
    73183 ÷ 131072     		x = 0.558341979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76062 ÷ 217
    76062 ÷ 131072     		y = 0.580307006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558341979980469 × 2 - 1) × π
    0.116683959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36657347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580307006835938 × 2 - 1) × π
    -0.160614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.504583805400711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36657347} λ = 0.36657347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504583805400711))-π/2
    2×atan(0.603756803464424)-π/2
    2×0.543177277978812-π/2
    1.08635455595762-1.57079632675     		φ = -0.48444177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36657347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.003113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48444177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.756469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73183 KachelY 76062 0.36657347 -0.48444177 21.003113 -27.756469
    Oben rechts KachelX + 1 73184 KachelY 76062 0.36662141 -0.48444177 21.005859 -27.756469
    Unten links KachelX 73183 KachelY + 1 76063 0.36657347 -0.48448419 21.003113 -27.758899
    Unten rechts KachelX + 1 73184 KachelY + 1 76063 0.36662141 -0.48448419 21.005859 -27.758899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48444177--0.48448419) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48444177--0.48448419) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36657347-0.36662141) × cos(-0.48444177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		do = 270.281946390961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36657347-0.36662141) × cos(-0.48448419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884915306343466 × 6371000     		du = 270.275912277102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48444177)-sin(-0.48448419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884935062745982-0.884915306343466)×R²
    abs(0.36662141-0.36657347)×1.97564025167241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97564025167241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97564025167241e-05×40589641000000     		ar = 73044.9942446324m²