Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73183 / 76000
↖ ↑ ↗
← S 27.605671°
E 21.003113°		 ← 270.66 m → S 27.605671°
E 21.005859°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
S 27.608105°
E 21.003113°		 ← 270.65 m →
73 249 m²		 S 27.608105°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558345794677734 y=0.579837799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558345794677734 × 217)
    floor (0.558345794677734 × 131072)
    floor (73183.5)     		tx = 73183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579837799072266 × 217)
    floor (0.579837799072266 × 131072)
    floor (76000.5)     		ty = 76000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73183 / 76000 ti = "17/73183/76000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73183/76000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73183 ÷ 217
    73183 ÷ 131072     		x = 0.558341979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76000 ÷ 217
    76000 ÷ 131072     		y = 0.579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558341979980469 × 2 - 1) × π
    0.116683959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36657347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36657347} λ = 0.36657347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501611717624268))-π/2
    2×atan(0.605553890907905)-π/2
    2×0.544493239332018-π/2
    1.08898647866404-1.57079632675     		φ = -0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36657347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.003113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73183 KachelY 76000 0.36657347 -0.48180985 21.003113 -27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 73184 KachelY 76000 0.36662141 -0.48180985 21.005859 -27.605671
    Unten links KachelX 73183 KachelY + 1 76001 0.36657347 -0.48185233 21.003113 -27.608105
    Unten rechts KachelX + 1 73184 KachelY + 1 76001 0.36662141 -0.48185233 21.005859 -27.608105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48180985--0.48185233) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dl = 270.640080000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48180985--0.48185233) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dr = 270.640080000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36657347-0.36662141) × cos(-0.48180985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 270.655377232948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36657347-0.36662141) × cos(-0.48185233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886138034152773 × 6371000     		du = 270.649364823079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48180985)-sin(-0.48185233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886138034152773)×R²
    abs(0.36662141-0.36657347)×1.96853410879827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96853410879827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96853410879827e-05×40589641000000     		ar = 73249.3793582503m²